Mathe Klasse 9: Satz des Pythagoras (Übungstest)
- Satz des Pythagoras
- 12 Fragen
- 15 Minuten
Du berechnest fehlende Seiten in rechtwinkligen Dreiecken, prüfst mit der Umkehrung, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, und löst Sachaufgaben. Tipp: Suche zuerst den rechten Winkel, denn die Hypotenuse liegt ihm gegenüber und ist immer die längste Seite.
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Frage 1
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten 9 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?
Richtige Antwort: C
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, also c = 225 = 15 cm. Bei 225 cm fehlt das Wurzelziehen, bei 21 cm wurden die Seiten einfach addiert.
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Frage 2
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei A. Welche Gleichung gilt?
Richtige Antwort: A
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber, bei einem rechten Winkel in A ist das die Seite a. Die bekannte Form c² = a² + b² gilt nur, wenn der rechte Winkel bei C liegt.
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Frage 3
Das Dreieck im Bild hat bei C einen rechten Winkel.
Berechne die Länge x.
Richtige Antwort: D
Die 10 cm lange Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber, sie ist die Hypotenuse. Also x² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 und x = 8 cm. Wer 10 cm als Kathete behandelt, rechnet 100 + 36 ≈ 11,7 cm.
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Frage 4
Welches Dreieck mit den angegebenen Seitenlängen ist rechtwinklig?
Richtige Antwort: B
Nach der Umkehrung des Satzes ist ein Dreieck rechtwinklig, wenn das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der anderen beiden Quadrate ist: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Bei 5, 11, 12 fehlt nicht viel, aber 25 + 121 = 146 und 12² = 144.
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Frage 5
Ein Quader ist 3 cm lang, 4 cm breit und 12 cm hoch. Wie lang ist seine Raumdiagonale?
Richtige Antwort: A
Die Diagonale der Grundfläche ist 3² + 4² = 5 cm. Mit der Höhe folgt d = 5² + 12² = 169 = 13 cm. 5 cm ist nur die Diagonale der Grundfläche.
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Frage 6
Wie hoch ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 8 cm? Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: C
Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse 8 cm und der Kathete 4 cm. Also h = 8² − 4² = 48 ≈ 6,9 cm. Bei ≈ 8,9 cm wurde addiert statt subtrahiert, die Höhe muss aber kürzer als die Seite sein.
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Frage 7
Wie weit sind die Punkte A(−2 | 1) und B(4 | 9) im Koordinatensystem voneinander entfernt? (LE = Längeneinheiten)
Richtige Antwort: B
Die Unterschiede der Koordinaten sind 4 − (−2) = 6 und 9 − 1 = 8. Der Abstand ist 6² + 8² = 100 = 10 LE. Wer 4 − 2 statt 4 − (−2) rechnet, kommt auf 68 ≈ 8,2 LE.
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Frage 8
Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. Ihr Fuß steht auf ebenem Boden 1,4 m von der Wand entfernt. In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?
Richtige Antwort: D
Die Leiter ist die Hypotenuse: h = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04 = 4,8 m. ≈ 5,2 m kann nicht stimmen, denn die Höhe muss kürzer als die Leiter sein.
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Frage 9
Der rechteckige Bildschirm eines Tablets ist 24 cm breit und 18 cm hoch. Wie lang ist seine Diagonale?
Richtige Antwort: A
Breite und Höhe sind die Katheten: d = 24² + 18² = 576 + 324 = 900 = 30 cm. 900 cm ist der Wert von d², hier fehlt die Wurzel.
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Frage 10
Ein rechteckiger Park ist 80 m lang und 60 m breit. Wie viele Meter spart man, wenn man von einer Ecke diagonal zur gegenüberliegenden Ecke geht, statt außen an zwei Seiten entlang?
Richtige Antwort: C
Außen herum sind es 80 m + 60 m = 140 m, die Diagonale ist 80² + 60² = 10.000 = 100 m. Man spart 140 m − 100 m = 40 m. 100 m ist die Länge der Diagonale, nicht die Ersparnis.
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Frage 11
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° teilt die Höhe h die Hypotenuse c = 10 cm in zwei Abschnitte: p = 3,6 cm liegt an der Kathete a, q = 6,4 cm an der Kathete b.
Wie lang ist die Kathete a?
Richtige Antwort: B
Nach dem Kathetensatz gilt a² = c · p = 10 · 3,6 = 36, also a = 6 cm. 8 cm erhältst du mit c · q, das ist die Kathete b, und 4,8 cm ist die Höhe h.
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Frage 12
In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe h die Hypotenuse in die Abschnitte p = 4 cm und q = 9 cm. Wie lang ist h?
Richtige Antwort: D
Nach dem Höhensatz ist h² = p · q = 4 · 9 = 36, also h = 6 cm. 13 cm ist die ganze Hypotenuse p + q, und 6,5 cm ist nur der Mittelwert der beiden Abschnitte.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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