Mathe Klasse 9: Erwartungswert und faire Spiele (Übungstest)
- Erwartungswert und faire Spiele
- 10 Fragen
- 15 Minuten
Zehn Aufgaben zum Erwartungswert. Tipp: Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alles.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
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Frage 1
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist der Erwartungswert der Augenzahl?
Richtige Antwort: A
E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6 = 21 : 6 = 3,5. Der Erwartungswert muss keine Zahl sein, die wirklich gewürfelt werden kann; 21 ist nur die Summe.
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Frage 2
Bei einem Glücksrad nimmt das Gewinnfeld ein Viertel der Fläche ein. Landet der Zeiger dort, bekommt man 4 €, sonst nichts. Wie hoch ist die zu erwartende Auszahlung pro Drehung?
Richtige Antwort: C
E = ¼ · 4 € + ¾ · 0 € = 1 €. 4 € bekommt man nur im Gewinnfall, im Mittel über viele Drehungen ist es 1 €.
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Frage 3
Ein Spiel kostet 2 € Einsatz. Würfelt man eine Sechs, bekommt man 10 € ausgezahlt, sonst nichts. Wie groß ist der zu erwartende Gewinn pro Spiel (Auszahlung minus Einsatz)?
Richtige Antwort: D
Erwartete Auszahlung: 10 € · ⅙ ≈ 1,67 €. Davon geht der Einsatz ab: 1,67 € − 2 € ≈ −0,33 €. Wer nur 1,67 € angibt, vergisst den Einsatz.
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Frage 4
Wann nennt man ein Glücksspiel fair?
Richtige Antwort: B
Fair heißt: Auf lange Sicht gewinnt oder verliert man im Mittel nichts. Gleiche Wahrscheinlichkeiten reichen nicht, wenn die Beträge für Gewinn und Verlust unterschiedlich sind.
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Frage 5
Eine Münze wird zweimal geworfen, der Einsatz beträgt 1 €. Nur bei zweimal Kopf wird ein Betrag x ausgezahlt, sonst nichts. Wie groß muss x sein, damit das Spiel fair ist?
Richtige Antwort: A
Zweimal Kopf hat die Wahrscheinlichkeit ½ · ½ = ¼. Fair ist das Spiel, wenn ¼ · x = 1 € gilt, also x = 4 €. Mit 2 € wurde die Wahrscheinlichkeit fälschlich als ½ angesetzt.
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Frage 6
Bei einer Tombola gibt es 100 Lose: 1 Los gewinnt 50 €, 4 Lose gewinnen je 10 €, alle anderen sind Nieten. Wie hoch ist die zu erwartende Auszahlung pro Los?
Richtige Antwort: D
Insgesamt werden 50 € + 4 · 10 € = 90 € ausgeschüttet, verteilt auf 100 Lose: 0,90 € pro Los. 0,60 € entsteht, wenn man die vier 10-€-Gewinne nur einmal zählt.
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Frage 7
Die Zufallsgröße X nimmt die Werte 0, 1 und 2 an, mit P(X = 0) = 0,5, P(X = 1) = 0,3 und P(X = 2) = 0,2.
Berechne den Erwartungswert von X.
Richtige Antwort: B
E(X) = 0 · 0,5 + 1 · 0,3 + 2 · 0,2 = 0 + 0,3 + 0,4 = 0,7. Die 1 wäre der einfache Mittelwert der drei Werte ohne Gewichtung.
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Frage 8
Für ein Spiel ergibt sich ein erwarteter Gewinn von −0,25 € pro Spiel. Was bedeutet das?
Richtige Antwort: C
Der Erwartungswert ist ein Durchschnitt über sehr viele Spiele. Einzelne Spiele können gewonnen werden; sichere Aussagen über wenige Spiele erlaubt er nicht.
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Frage 9
Zwei Würfel werden geworfen. Bei einem Pasch (zwei gleiche Augenzahlen) gewinnt man 5 €, sonst verliert man 1 €. Ist das Spiel fair?
Richtige Antwort: A
Es gibt 6 Pasch-Ergebnisse von 36, also P(Pasch) = ⅙. E = ⅙ · 5 € − ⅚ · 1 € = 0 €. Die Wahrscheinlichkeit 1/36 gilt nur für einen bestimmten Pasch, etwa zwei Sechsen.
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Frage 10
Ein fairer Würfel wird 600-mal geworfen. Wie oft erwartest du ungefähr eine Sechs?
Richtige Antwort: C
Der Erwartungswert ist Anzahl der Würfe mal Wahrscheinlichkeit: 600 · ⅙ = 100. Genau 100 Sechsen sind dabei nicht sicher, nur ungefähr zu erwarten.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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