Mathe Klasse 10: Trigonometrie (Übungstest)
- Trigonometrie
- 12 Fragen
- 15 Minuten
Du berechnest Seiten und Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens und arbeitest mit Sinussatz, Kosinussatz und Einheitskreis. Tipp: Stelle den Taschenrechner auf Grad (DEG) und bestimme vom gesuchten Winkel aus zuerst Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.
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Frage 1
In einem rechtwinkligen Dreieck ist α einer der beiden spitzen Winkel. Welcher Quotient ist gleich tan α?
Richtige Antwort: C
Der Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. Gegenkathete durch Hypotenuse ist der Sinus, Ankathete durch Hypotenuse der Kosinus.
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Frage 2
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 12 cm lang, der Winkel α beträgt 35°. Wie lang ist die Gegenkathete von α? Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: A
Aus sin α = Gegenkathete : Hypotenuse folgt Gegenkathete = 12 cm · sin 35° ≈ 6,9 cm. Mit dem Kosinus (≈ 9,8 cm) berechnest du die Ankathete.
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Frage 3
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von α 5 cm lang und die Ankathete von α 8 cm. Wie groß ist α? Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: D
Gegenkathete und Ankathete sind gegeben, also tan α = 5 : 8 = 0,625 und α ≈ 32,0°. 38,7° entsteht, wenn man fälschlich den Sinus benutzt, und 58,0° ist der andere spitze Winkel (tan = 8 : 5).
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Frage 4
Im Dreieck ABC ist γ = 90° und α = 40°. Die Seite AC ist 7 cm lang.
Berechne die Länge x der Hypotenuse. Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: B
AC ist die Ankathete von α, also cos 40° = 7 : x und x = 7 cm : cos 40° ≈ 9,1 cm. Bei ≈ 5,4 cm wurde mit cos 40° multipliziert statt geteilt; die Hypotenuse muss aber länger als 7 cm sein.
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Frage 5
Ein Verkehrsschild zeigt 10 % Steigung: Auf 100 m waagerechter Strecke steigt die Straße um 10 m an. Wie groß ist der Steigungswinkel ungefähr?
Richtige Antwort: C
Die Steigung ist Höhenunterschied durch waagerechte Strecke, also tan α = 10 : 100 = 0,1 und α ≈ 5,7°. Prozent und Grad sind verschiedene Maße, 10 % Steigung sind deshalb nicht 10°.
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Frage 6
Welchen exakten Wert hat sin 60°?
Richtige Antwort: A
Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 2 ist die Höhe 3, deshalb ist sin 60° = 123 ≈ 0,87. Der Wert 12 gehört zu sin 30°, und 3 ist tan 60°.
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Frage 7
Im Dreieck ABC gilt a = 8 cm, α = 50° und β = 70°. Berechne die Seite b mit dem Sinussatz. Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: D
Nach dem Sinussatz ist b : sin β = a : sin α, also b = 8 cm · sin 70° : sin 50° ≈ 9,8 cm. 11,2 cm entsteht, wenn man mit den Winkeln 70 und 50 statt mit ihren Sinuswerten rechnet, und bei ≈ 6,5 cm sind die beiden Sinuswerte vertauscht.
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Frage 8
Im Dreieck ABC sind b = 5 cm, c = 7 cm und der eingeschlossene Winkel α = 60°. Wie lang ist a? Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: B
Nach dem Kosinussatz ist a² = b² + c² − 2bc · cos α = 25 + 49 − 70 · 0,5 = 39, also a = 39 ≈ 6,2 cm. Ohne den Term 2bc · cos α ergäbe sich 74 ≈ 8,6 cm, das wäre nur bei α = 90° richtig.
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Frage 9
Für welchen Winkel β mit 0° < β < 360° und β ≠ 40° gilt sin β = sin 40°?
Richtige Antwort: C
Am Einheitskreis haben α und 180° − α denselben Sinuswert, also ist sin 140° = sin 40°. Bei 220° und 320° ist der Sinus negativ, und sin 50° ist gleich cos 40°.
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Frage 10
Welche Vorzeichen haben sin α und cos α für α = 200°?
Richtige Antwort: A
200° liegt zwischen 180° und 270°, also im dritten Quadranten. Dort liegt der Punkt auf dem Einheitskreis links unten, deshalb sind sein x-Wert (cos α) und sein y-Wert (sin α) beide negativ.
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Frage 11
Welches Bogenmaß hat der Winkel 135°?
Richtige Antwort: D
180° entsprechen π, also ist 135° = 135180π = 34π. 43π wären 240°, dort wurde der Bruch umgedreht.
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Frage 12
Ein Baum steht auf ebenem Boden. Von einem Punkt am Boden, 25 m vom Stamm entfernt, sieht man die Baumspitze unter einem Höhenwinkel von 32°. Wie hoch ist der Baum? Runde auf eine Nachkommastelle.
Richtige Antwort: B
Die 25 m sind die Ankathete, die Baumhöhe ist die Gegenkathete: h = 25 m · tan 32° ≈ 15,6 m. Mit dem Sinus (≈ 13,2 m) würde man die 25 m fälschlich als Hypotenuse behandeln.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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