Mathe Klasse 10: Ganzrationale Funktionen (Übungstest)
- Ganzrationale Funktionen
- 10 Fragen
- 15 Minuten
Zehn Aufgaben zu Polynomfunktionen. Tipp: Klammere zum Bestimmen von Nullstellen zuerst x aus und nutze den Satz vom Nullprodukt.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
Dein Ergebnis
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Frage 1
Welchen Grad hat die Funktion f(x) = 3x4 − 2x² + x − 5?
Richtige Antwort: B
Der Grad ist der höchste vorkommende Exponent von x, hier 4. Die Anzahl der Summanden oder der Vorfaktor 3 spielen dafür keine Rolle.
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Frage 2
Wie verhält sich f(x) = −2x³ + 5x für x → +∞?
Richtige Antwort: C
Für große x bestimmt der Summand mit dem höchsten Exponenten den Verlauf: −2x³ wird beliebig stark negativ. Das Minus vor der 2 dreht das Verhalten von x³ um.
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Frage 3
Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ − 4x.
Richtige Antwort: A
Ausklammern: x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x = 0, x = 2, x = −2. Wer durch x teilt, verliert die Nullstelle 0.
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Frage 4
Welche Symmetrie hat der Graph von f(x) = x4 − 3x² + 1?
Richtige Antwort: D
Alle Exponenten sind gerade (4, 2 und 0 beim Summanden 1), also gilt f(−x) = f(x). Für Punktsymmetrie bräuchte man nur ungerade Exponenten.
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Frage 5
Welche Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung?
Richtige Antwort: A
Bei x³ + x kommen nur ungerade Exponenten vor, deshalb gilt f(−x) = −f(x). Bei x³ + 1 stört der konstante Summand 1, denn er hat den geraden Exponenten 0.
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Frage 6
Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion 5. Grades höchstens haben?
Richtige Antwort: D
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, hier also 5. Eine Nullstelle weniger (4) ist die Höchstzahl der Extrempunkte.
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Frage 7
Bestimme die Nullstellen von f(x) = (x − 1)(x + 3)².
Richtige Antwort: B
x − 1 = 0 ergibt x = 1; (x + 3)² = 0 ergibt x = −3 (doppelte Nullstelle). Die Vorzeichen in den Klammern sind umgekehrt zur Nullstelle, daher ist −1 und 3 falsch.
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Frage 8
Wie viele Nullstellen hat f(x) = x4 − 5x² + 4? Tipp: Setze z = x².
Richtige Antwort: C
z² − 5z + 4 = 0 hat die Lösungen z = 1 und z = 4. Aus x² = 1 und x² = 4 folgen x = ±1 und x = ±2, also vier Nullstellen. Wer nur z = 1 und z = 4 zählt, kommt fälschlich auf 2.
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Frage 9
In welchem Punkt schneidet der Graph von f(x) = 2x³ − 3x² + 7 die y-Achse?
Richtige Antwort: A
Auf der y-Achse ist x = 0, und f(0) = 7. Der Punkt heißt (0|7); bei (7|0) sind die Koordinaten vertauscht.
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Frage 10
Welche Funktion hat genau die Nullstellen −1, 0 und 3?
Richtige Antwort: B
Die Linearfaktoren sind x, (x + 1) und (x − 3): x(x + 1)(x − 3) = x(x² − 2x − 3) = x³ − 2x² − 3x. x³ + 2x² − 3x = x(x + 3)(x − 1) hat dagegen die Nullstellen −3, 0 und 1.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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