Abitur Mathe üben: Vektoren und Geraden (Übungstest)
- Vektoren, Geradengleichungen und Lagebeziehungen
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zu Vektoren und Geraden im Raum. Punkte und Vektoren sind als (x|y|z) geschrieben. Tipp: Bei der Lage zweier Geraden prüfst du zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
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Frage 1
Gegeben sind A(2|−1|4) und B(5|3|4).
Wie lang ist die Strecke AB?
Richtige Antwort: D
Der Verbindungsvektor ist (3|4|0), seine Länge 9 + 16 + 0 = 5. 25 ist das Quadrat der Länge; die Wurzel wurde vergessen.
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Frage 2
Gegeben sind a = (2|−1|3) und b = (−6|3|−9).
Welche Aussage ist richtig?
Richtige Antwort: C
Jede Koordinate von b ist das −3-Fache der entsprechenden Koordinate von a, also sind die Vektoren kollinear (gegensinnig parallel). Das Skalarprodukt ist −12 − 3 − 27 = −42 ≠ 0, also sind sie nicht orthogonal.
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Frage 3
Gegeben sind a = (1|t|2) und b = (4|−2|1).
Für welchen Wert von t sind a und b orthogonal?
Richtige Antwort: D
Orthogonal heißt Skalarprodukt null: 1 · 4 + t · (−2) + 2 · 1 = 6 − 2t = 0, also t = 3. Mit t = −3 ergäbe sich 12, nicht 0.
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Frage 4
Gegeben ist die Gerade g: x = (1|3|1) + r · (2|−1|−2).
Für welchen Wert von a liegt der Punkt P(7|a|−5) auf g?
Richtige Antwort: B
Aus der x-Koordinate 1 + 2r = 7 folgt r = 3. Die z-Koordinate passt: 1 − 6 = −5. Dann ist y = 3 − 3 = 0. Mit a = 6 wurde in der y-Koordinate addiert statt subtrahiert.
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Frage 5
Gegeben sind g: x = (1|0|2) + r · (1|1|0) und h: x = (3|2|1) + s · (0|1|−1).
Wie liegen g und h zueinander?
Richtige Antwort: A
Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander, also nicht parallel. Gleichsetzen liefert aus x: r = 2, aus y: s = 0, aber dann passt z nicht (2 ≠ 1). Kein Schnittpunkt und nicht parallel heißt windschief.
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Frage 6
Gegeben sind g: x = (0|1|2) + r · (1|2|−1) und h: x = (0|3|0) + s · (1|0|1).
In welchem Punkt schneiden sich g und h?
Richtige Antwort: A
Aus der y-Koordinate 1 + 2r = 3 folgt r = 1, aus der x-Koordinate dann s = 1. Probe in z: 2 − 1 = 1 und 0 + 1 = 1. Einsetzen ergibt S(1|3|1). (0|1|2) ist nur der Stützpunkt von g.
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Frage 7
Die Geraden g und h haben die Richtungsvektoren (1|0|1) und (0|1|1) und schneiden sich.
Unter welchem Winkel schneiden sie sich?
Richtige Antwort: C
cos α = |1 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1|2 · 2 = 12, also α = 60°. Für 90° müsste das Skalarprodukt null sein; es ist aber 1.
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Frage 8
Gegeben ist g: x = (2|1|6) + r · (1|2|3).
In welchem Punkt durchstößt g die x-y-Ebene?
Richtige Antwort: A
In der x-y-Ebene ist z = 0: 6 + 3r = 0, also r = −2. Einsetzen: (2 − 2 | 1 − 4 | 0) = (0|−3|0). (4|5|0) entsteht mit r = +2; dort wäre z aber 12.
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Frage 9
Welche Gleichung beschreibt die Gerade durch A(1|2|3), die parallel zur x-Achse verläuft?
Richtige Antwort: B
Der Stützvektor ist der Ortsvektor von A, der Richtungsvektor zeigt in Richtung der x-Achse, also (1|0|0). Bei (1|0|0) + r · (1|2|3) sind Stütz- und Richtungsvektor vertauscht.
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Frage 10
Die Punkte A(1|1|0), B(4|2|1) und C(5|5|3) sind drei Ecken des Parallelogramms ABCD.
Welche Koordinaten hat D?
Richtige Antwort: D
Im Parallelogramm ABCD gilt AD = BC, also D = A + (C − B) = (1|1|0) + (1|3|2) = (2|4|2). D(8|6|4) wäre B + C − A, die vierte Ecke eines anders benannten Parallelogramms.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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