Abitur Mathe üben: Integralrechnung (Übungstest)
- Stammfunktionen, Integrale und Flächen
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zu Stammfunktionen, bestimmten Integralen und Flächeninhalten. Tipp: Bei Flächen zuerst die Nullstellen bestimmen, denn Teile unterhalb der x-Achse liefern negative Integralwerte.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = 6x2 − 4x + 3.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f?
Richtige Antwort: D
Beim Aufleiten wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt: 6x2 → 2x3, −4x → −2x2, 3 → 3x. 12x − 4 ist die Ableitung, nicht die Stammfunktion.
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Frage 2
Berechne das Integral von 1 bis 3 über (2x − 1) dx.
Richtige Antwort: C
Eine Stammfunktion ist F(x) = x2 − x. F(3) − F(1) = 6 − 0 = 6. Die 4 entsteht, wenn man f(3) − f(1) statt F(3) − F(1) rechnet.
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Frage 3
Gegeben ist f(x) = e2x.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f?
Richtige Antwort: A
Leitet man 12 e2x ab, entsteht mit der inneren Ableitung 2 wieder e2x. 2e2x ist die Ableitung von f, nicht die Stammfunktion.
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Frage 4
Welchen Wert hat das Integral von 1 bis e über 1x dx?
Richtige Antwort: D
Eine Stammfunktion von 1x ist ln(x). ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. e − 1 entsteht, wenn man fälschlich x als Stammfunktion nimmt.
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Frage 5
Der Graph von f(x) = x2 − 4 und die x-Achse schließen eine Fläche ein.
Wie groß ist diese Fläche?
Richtige Antwort: B
Die Nullstellen sind −2 und 2. Das Integral von −2 bis 2 ergibt −323, weil die Fläche unter der x-Achse liegt. Ein Flächeninhalt ist aber immer positiv, also 323.
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Frage 6
Der Graph von f(x) = x3 schließt im Intervall von x = −1 bis x = 2 mit der x-Achse Flächenstücke ein.
Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt?
Richtige Antwort: B
Wegen der Nullstelle bei 0 rechnest du getrennt: Von −1 bis 0 ergibt sich −14, also die Fläche 14; von 0 bis 2 ergibt sich 4. Zusammen 174. 154 ist das Integral über das ganze Intervall, bei dem sich die Teile teilweise aufheben.
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Frage 7
Gegeben ist die Integralfunktion I(x) = Integral von 2 bis x über (t2 + 1) dt.
Wie lautet I'(x)?
Richtige Antwort: B
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung der Integralfunktion die Integrandenfunktion selbst, an der Stelle x: I'(x) = x2 + 1. Die untere Grenze 2 spielt dafür keine Rolle.
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Frage 8
Welchen Mittelwert hat die Funktion f(x) = x2 auf dem Intervall [0; 3]?
Richtige Antwort: A
Mittelwert = 13 − 0 · Integral von 0 bis 3 über x2 dx = 13 · 9 = 3. Die 9 ist nur das Integral ohne Division durch die Intervallbreite.
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Frage 9
In einen Tank fließt Wasser mit der Zuflussrate r(t) = 20 − 2t (t in Minuten, r in Litern pro Minute).
Wie viel Wasser fließt in den ersten 5 Minuten zu?
Richtige Antwort: A
Die zugeflossene Menge ist das Integral der Rate: Integral von 0 bis 5 über (20 − 2t) dt = [20t − t2] = 100 − 25 = 75. 10 Liter pro Minute ist nur die Rate r(5) zum Zeitpunkt t = 5.
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Frage 10
Die Graphen von f(x) = 4 − x2 und g(x) = x + 2 schneiden sich bei x = −2 und x = 1.
Wie groß ist die Fläche zwischen den beiden Graphen?
Richtige Antwort: C
Im Intervall liegt f oberhalb von g. Integral von −2 bis 1 über (2 − x − x2) dx = 76 − (−103) = 92. 76 ist nur der Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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