Abitur Mathe üben: Ableitungen (Übungstest)
- Ableitungsregeln
- 10 Fragen
- 12 Minuten
10 Aufgaben zu den Ableitungsregeln und zur Bedeutung der Ableitung als momentane Änderungsrate. Tipp: Prüfe bei verketteten Funktionen immer, ob du die innere Ableitung mitgenommen hast.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = 4x5 − 3x2 + 7x − 2.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: B
Jeder Summand wird einzeln abgeleitet: (4x5)' = 20x4, (3x2)' = 6x, (7x)' = 7, und die Konstante −2 fällt weg. Bei 20x4 − 6x wurde der lineare Summand 7x wie eine Konstante behandelt.
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Frage 2
Gegeben ist f(x) = x2 · sin(x).
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: D
Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v' mit u = x2 und v = sin(x), also 2x · sin(x) + x2 · cos(x). 2x · cos(x) entsteht, wenn man einfach beide Faktoren ableitet und multipliziert.
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Frage 3
Gegeben ist f(x) = 2x + 1x − 3.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: A
Quotientenregel: f'(x) = 2 · (x − 3) − (2x + 1) · 1(x − 3)2 = −7(x − 3)2. Bei +7 im Zähler wurden die beiden Produkte im Zähler in falscher Reihenfolge subtrahiert.
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Frage 4
Gegeben ist f(x) = sin(3x2).
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: C
Kettenregel: äußere Ableitung cos(3x2) mal innere Ableitung 6x. Wer nur cos(3x2) schreibt, hat die innere Ableitung vergessen.
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Frage 5
Gegeben ist f(x) = 1x2 für x ≠ 0.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: B
Schreibe f(x) = x−2. Mit der Potenzregel folgt f'(x) = −2x−3 = −2x3. Der Exponent wird um 1 kleiner, aus −2 wird also −3 und nicht −1.
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Frage 6
Gegeben ist f(x) = 4x + 1.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: D
Es gilt (u)' = 12u. Mit der inneren Ableitung 4 ergibt sich 424x + 1 = 24x + 1. 124x + 1 lässt die innere Ableitung weg.
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Frage 7
Gegeben ist f(x) = x4 − 2x3 + 5x.
Wie lautet die zweite Ableitung f''(x)?
Richtige Antwort: A
Zuerst f'(x) = 4x3 − 6x2 + 5, dann noch einmal ableiten: f''(x) = 12x2 − 12x. Die Konstante 5 fällt beim zweiten Ableiten weg.
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Frage 8
Gegeben ist f(x) = ln(5x) für x > 0.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: B
Kettenregel: 15x · 5 = 1x. Man sieht es auch an ln(5x) = ln(5) + ln(x): Der Summand ln(5) ist konstant. 5x entsteht, wenn man die 5 doppelt berücksichtigt.
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Frage 9
Gegeben ist f(x) = x3 − 4x. Der Punkt P(2|0) liegt auf dem Graphen.
Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen im Punkt P?
Richtige Antwort: D
Die Tangentensteigung ist f'(2). Mit f'(x) = 3x2 − 4 gilt f'(2) = 12 − 4 = 8. Die 0 ist der Funktionswert f(2), nicht die Steigung.
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Frage 10
Die Funktion h gibt die Höhe einer Pflanze in Zentimetern t Tage nach Beobachtungsbeginn an. Es gilt h'(10) = 1,5.
Was bedeutet diese Angabe?
Richtige Antwort: C
Die Ableitung ist die momentane Änderungsrate, hier die Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag zum Zeitpunkt t = 10. Die Höhe selbst wäre h(10), nicht h'(10).
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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