Abitur Mathe üben: Kurvendiskussion (Übungstest)
- Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen. Tipp: Eine Nullstelle von f' ist erst dann eine Extremstelle, wenn f' dort das Vorzeichen wechselt oder f'' ungleich null ist.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = x3 − 4x.
Welche Nullstellen hat f?
Richtige Antwort: A
Ausklammern: x3 − 4x = x · (x2 − 4) = x · (x − 2) · (x + 2). Wer durch x teilt statt auszuklammern, verliert die Nullstelle x = 0.
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Frage 2
Gegeben ist f(x) = x4 − 3x2 + 1.
Welche Symmetrie hat der Graph von f?
Richtige Antwort: C
Alle Exponenten sind gerade (4, 2 und 0), also gilt f(−x) = f(x). Achsensymmetrie zur x-Achse ist bei einer Funktion unmöglich, weil dann zu einem x-Wert zwei y-Werte gehören würden.
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Frage 3
Gegeben ist f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 5.
Welcher Punkt ist der Hochpunkt des Graphen?
Richtige Antwort: C
f'(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) hat die Nullstellen −1 und 3. Wegen f''(−1) = −12 < 0 liegt bei x = −1 ein Hochpunkt mit f(−1) = 10. (3|−22) ist der Tiefpunkt.
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Frage 4
Gegeben ist f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 5.
Wo liegt der Wendepunkt des Graphen?
Richtige Antwort: B
f''(x) = 6x − 6 ist bei x = 1 null und wechselt dort das Vorzeichen. f(1) = 1 − 3 − 9 + 5 = −6. W(0|5) ist nur der Schnittpunkt mit der y-Achse.
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Frage 5
Gegeben ist f(x) = −2x3 + x2 + 5.
Wie verhält sich f(x) für x → +∞ und für x → −∞?
Richtige Antwort: B
Entscheidend ist der Summand mit dem höchsten Exponenten, −2x3. Für große positive x ist x3 groß und positiv, mit dem Faktor −2 also negativ; für negative x dreht sich das Vorzeichen um.
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Frage 6
Für eine zweimal differenzierbare Funktion f gilt f'(2) = 0 und f''(2) = −3.
Was folgt daraus?
Richtige Antwort: A
f'(2) = 0 heißt waagerechte Tangente, f''(2) < 0 heißt rechtsgekrümmt. Beides zusammen ist die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt. Für einen Tiefpunkt müsste f''(2) positiv sein.
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Frage 7
Gegeben ist f(x) = x3 − 3x2 + 3x.
Welche Aussage über den Graphen ist richtig?
Richtige Antwort: D
f'(x) = 3x2 − 6x + 3 = 3(x − 1)2 ist nur bei x = 1 null und wechselt dort das Vorzeichen nicht; f'' = 6x − 6 wechselt dort aber das Vorzeichen. Das ist ein Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente). In (0|0) ist f''(0) = −6, also kein Wendepunkt.
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Frage 8
Gegeben ist f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 5.
Für welche x ist der Graph linksgekrümmt?
Richtige Antwort: C
Linkskrümmung bedeutet f''(x) > 0. Aus 6x − 6 > 0 folgt x > 1. Das Intervall zwischen −1 und 3 ist der Bereich, in dem f fällt; das ist eine Aussage über f', nicht über die Krümmung.
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Frage 9
Der Graph der Ableitung f' ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen x = −2 und x = 4.
Was folgt daraus für den Graphen von f?
Richtige Antwort: A
Die nach oben geöffnete Parabel ist links von −2 positiv, zwischen −2 und 4 negativ und rechts von 4 wieder positiv. f steigt also, fällt und steigt: erst Hochpunkt, dann Tiefpunkt. Nullstellen von f' sind keine Nullstellen von f.
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Frage 10
Wie viele Wendepunkte kann der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades höchstens haben?
Richtige Antwort: D
Bei einer Funktion 4. Grades ist f'' ganzrational vom Grad 2 und hat höchstens 2 Nullstellen. Die 3 ist die Höchstzahl der Extrempunkte, nicht der Wendepunkte.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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