Abitur Mathe üben: Analytische Geometrie (Übungstest)
- Analytische Geometrie: Vektoren, Geraden und Ebenen
- 15 Fragen
- 25 Minuten
15 Aufgaben zu Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum. Vektoren und Punkte sind als (x|y|z) geschrieben; mache bei Punktproben die Probe in allen drei Koordinaten.
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Frage 1
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3) und B(4|0|5).
Welcher Vektor ist der Verbindungsvektor von A nach B?
Richtige Antwort: C
Der Vektor von A nach B ist B − A = (4 − 1|0 − 2|5 − 3) = (3|−2|2). (−3|2|−2) zeigt in die Gegenrichtung von B nach A.
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Frage 2
Welche Länge hat der Vektor (2|−3|6)?
Richtige Antwort: A
Der Betrag ist 2² + (−3)² + 6² = 49 = 7. 49 ist das Quadrat der Länge; vergiss die Wurzel nicht.
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Frage 3
Gegeben sind die Vektoren a = (1|2|−1) und b = (3|−1|1).
Welche Aussage ist richtig?
Richtige Antwort: D
a · b = 1 · 3 + 2 · (−1) + (−1) · 1 = 3 − 2 − 1 = 0. Ein Skalarprodukt von 0 bedeutet, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
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Frage 4
Welcher Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen A(2|4|−2) und B(6|0|4)?
Richtige Antwort: B
Der Mittelpunkt ist der Mittelwert der Koordinaten: ((2 + 6)/2|(4 + 0)/2|(−2 + 4)/2) = (4|2|1). M(2|−2|3) ist nur der halbe Verbindungsvektor, ohne ihn an A anzusetzen.
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Frage 5
Welche Gleichung beschreibt die Gerade g durch A(1|0|2) und B(3|1|0)?
Richtige Antwort: A
Stützvektor ist A, Richtungsvektor ist B − A = (2|1|−2). In x = (1|0|2) + t · (3|1|0) wurde der Ortsvektor von B als Richtung genommen; diese Gerade geht nicht durch B.
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Frage 6
Gegeben ist die Gerade g: x = (1|0|2) + t · (2|1|−2).
Welcher Punkt liegt auf g?
Richtige Antwort: C
Für t = 2 erhält man (1 + 4|0 + 2|2 − 4) = (5|2|−2). Bei (5|2|0) passen x und y zu t = 2, aber die z-Koordinate müsste −2 sein; (3|1|2) scheitert ebenso an z (für t = 1 wäre z = 0).
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Frage 7
Gegeben sind g: x = (1|1|0) + t · (1|2|1) und h: x = (0|0|1) + s · (−2|−4|−2).
Wie liegen g und h zueinander?
Richtige Antwort: B
(−2|−4|−2) = −2 · (1|2|1), die Richtungen sind also parallel. Der Punkt (0|0|1) liegt nicht auf g, denn (0|0|1) − (1|1|0) = (−1|−1|1) ist kein Vielfaches von (1|2|1). Daher sind die Geraden echt parallel.
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Frage 8
Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene E: 2x − y + 3z = 6?
Richtige Antwort: D
In der Koordinatenform ax + by + cz = d sind die Koeffizienten (a|b|c) ein Normalenvektor, hier (2|−1|3). Bei (2|1|3) wurde das Minuszeichen vor y übersehen.
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Frage 9
In welchem Punkt schneidet die Ebene E: 2x + 3y + 6z = 12 die z-Achse?
Richtige Antwort: A
Auf der z-Achse gilt x = 0 und y = 0, also 6z = 12 und z = 2. (6|0|0) ist der Spurpunkt mit der x-Achse.
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Frage 10
Die Gerade g: x = (1|2|0) + t · (1|0|1) schneidet die Ebene E: x + y + z = 7.
Wie lautet der Schnittpunkt?
Richtige Antwort: C
Einsetzen: (1 + t) + 2 + t = 7, also 2t = 4 und t = 2. Der Punkt ist (3|2|2), Probe: 3 + 2 + 2 = 7. Der Fehler t = 1 ergibt (2|2|1), der nicht in E liegt.
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Frage 11
Welchen Winkel schließen die Vektoren (1|0|0) und (1|1|0) ein?
Richtige Antwort: B
cos α = 1 / (1 · 2) = 2/2, also α = 45°. Beide Vektoren liegen in der xy-Ebene, der zweite zeigt genau auf der Winkelhalbierenden.
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Frage 12
Wie lautet das Kreuzprodukt a × b für a = (1|2|0) und b = (0|1|3)?
Richtige Antwort: D
a × b = (2 · 3 − 0 · 1|0 · 0 − 1 · 3|1 · 1 − 2 · 0) = (6|−3|1). Probe: Das Skalarprodukt mit a und mit b ist jeweils 0. (−6|3|−1) ist b × a, also die Gegenrichtung.
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Frage 13
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|2|3) von der Ebene E: 2x + y + 2z = 1?
Richtige Antwort: A
Mit der Hesseschen Normalform: d = |2 · 1 + 2 + 2 · 3 − 1| / 2² + 1² + 2² = 9/3 = 3. Den Wert 9 erhält man, wenn man nicht durch die Länge 3 des Normalenvektors teilt.
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Frage 14
Welcher Vektor ist parallel zu (2|−4|6)?
Richtige Antwort: C
(−1|2|−3) = −1/2 · (2|−4|6), also sind die Vektoren parallel (Gegenrichtung zählt mit). Bei (4|−8|10) passen die ersten beiden Koordinaten zum Faktor 2, die dritte müsste aber 12 sein.
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Frage 15
Eine Ebene geht durch P(1|2|−1) und hat den Normalenvektor n = (3|0|1).
Wie lautet ihre Koordinatengleichung?
Richtige Antwort: B
Aus n folgt 3x + 0y + z = d. P eingesetzt: 3 · 1 + (−1) = 2, also 3x + z = 2. In x + 2y − z = 2 wurden Punkt und Normalenvektor vertauscht.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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