Abitur Mathe üben: Ebenen (Übungstest)
- Ebenengleichungen, Lage und Abstand
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zu Ebenen im Raum. Die Ebenen stehen meist in Koordinatenform ax + by + cz = d; (a|b|c) ist dann ein Normalenvektor. Tipp: Ein Kreuzprodukt kannst du prüfen, indem du es mit beiden Ausgangsvektoren skalar multiplizierst.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
Dein Ergebnis
- 0 richtig
- 0 falsch
- 0 leer
-
Frage 1
Eine Ebene wird von den Vektoren u = (1|0|2) und v = (0|1|−1) aufgespannt.
Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene?
Richtige Antwort: C
u × v = (0 · (−1) − 2 · 1 | 2 · 0 − 1 · (−1) | 1 · 1 − 0 · 0) = (−2|1|1). Probe: Das Skalarprodukt mit u ist −2 + 0 + 2 = 0, mit v ist 0 + 1 − 1 = 0. Bei (2|1|1) ergibt das Skalarprodukt mit u 4, nicht 0.
-
Frage 2
Eine Ebene schneidet die Koordinatenachsen in A(1|0|0), B(0|2|0) und C(0|0|3).
Welche Koordinatengleichung hat die Ebene?
Richtige Antwort: D
Achsenabschnittsform: x1 + y2 + z3 = 1, mal 6 ergibt 6x + 3y + 2z = 6. Probe mit B: 3 · 2 = 6. Bei x + 2y + 3z = 6 wurden die Achsenabschnitte als Koeffizienten eingesetzt.
-
Frage 3
Gegeben ist die Ebene E: 2x − y + z = 4.
Welcher Punkt liegt in E?
Richtige Antwort: D
Einsetzen: 2 · 1 − 0 + 2 = 4, die Gleichung ist erfüllt. Bei (0|4|0) ergibt sich −4, weil das Minus vor y übersehen wurde.
-
Frage 4
Gegeben sind g: x = (1|2|3) + r · (1|1|1) und E: x − 2y + z = 5.
Wie liegt g zu E?
Richtige Antwort: B
Richtungsvektor mal Normalenvektor: 1 − 2 + 1 = 0, also ist g parallel zu E oder liegt in E. Der Stützpunkt liefert 1 − 4 + 3 = 0 ≠ 5, er liegt nicht in E. Also ist g echt parallel.
-
Frage 5
Gegeben sind E1: x + 2y − z = 3 und E2: −2x − 4y + 2z = 5.
Wie liegen die beiden Ebenen zueinander?
Richtige Antwort: D
Die Normalenvektoren (1|2|−1) und (−2|−4|2) sind Vielfache, die Ebenen also parallel. Multipliziert man E1 mit −2, steht rechts −6 statt 5; die Ebenen sind daher nicht identisch.
-
Frage 6
Gegeben sind die parallelen Ebenen E1: 2x + y + 2z = 1 und E2: 2x + y + 2z = 10.
Welchen Abstand haben die Ebenen?
Richtige Antwort: A
Der Normalenvektor (2|1|2) hat die Länge 9 = 3. Der Abstand ist |10 − 1|3 = 3. Die 9 ist nur die Differenz der rechten Seiten ohne Division durch die Länge des Normalenvektors.
-
Frage 7
Gegeben sind E1: x = 2 und E2: x + z = 4.
Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen?
Richtige Antwort: C
Die Normalenvektoren sind (1|0|0) und (1|0|1). cos α = 11 · 2, also α = 45°. 90° würde ein Skalarprodukt von 0 voraussetzen; es ist 1.
-
Frage 8
Welche Ebene ist parallel zur x-z-Ebene?
Richtige Antwort: A
Die x-z-Ebene hat die Gleichung y = 0 und den Normalenvektor (0|1|0). Jede Ebene y = c ist dazu parallel. z = 4 ist parallel zur x-y-Ebene.
-
Frage 9
Gegeben sind der Punkt P(3|3|5) und die Ebene E: x + y + z = 2.
Wo liegt der Lotfußpunkt F von P auf E?
Richtige Antwort: B
Lotgerade: x = (3|3|5) + r · (1|1|1). Einsetzen in E: 11 + 3r = 2, also r = −3 und F(0|0|2). F(6|6|8) entsteht mit r = +3, also mit falschem Vorzeichen.
-
Frage 10
Gegeben sind E: ax + 2y − z = 3 und F: x − y + 4z = 0.
Für welchen Wert von a stehen E und F senkrecht aufeinander?
Richtige Antwort: A
Zwei Ebenen sind orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind: (a|2|−1) · (1|−1|4) = a − 2 − 4 = 0, also a = 6. Mit a = −6 wurde das Vorzeichen beim Umstellen falsch übernommen.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
Weitere Tests in Mathematik
MathematikAbitur Mathe üben: Stochastik Grundlagen (Übungstest)Laplace, Baumdiagramme und Kombinatorik10 Fragen12 Min. MathematikAbitur Mathe üben: Analysis (Übungstest)Analysis: Ableitungen, Kurvendiskussion und Integrale15 Fragen25 Min.MathematikAbitur Mathe üben: Stochastik (Übungstest)Stochastik: Binomialverteilung und Erwartungswert15 Fragen25 Min.MathematikAbitur Mathe üben: Analytische Geometrie (Übungstest)Analytische Geometrie: Vektoren, Geraden und Ebenen15 Fragen25 Min.MathematikAbitur Mathe üben: Ableitungen (Übungstest)Ableitungsregeln10 Fragen12 Min.MathematikAbitur Mathe üben: Kurvendiskussion (Übungstest)Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen10 Fragen14 Min.MathematikAbitur Mathe üben: Integralrechnung (Übungstest)Stammfunktionen, Integrale und Flächen10 Fragen14 Min.