Abitur Mathe üben: Stochastik (Übungstest)
- Stochastik: Binomialverteilung und Erwartungswert
- 15 Fragen
- 25 Minuten
15 Aufgaben zur Binomialverteilung, zu Erwartungswert und Standardabweichung und zu Glücksspielen. Achte bei Wörtern wie „höchstens“, „mindestens“ und „mehr als“ genau darauf, welche Werte von k dazugehören.
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Frage 1
In welchem Fall ist die Zufallsgröße X binomialverteilt?
Richtige Antwort: B
Beim zehnfachen Würfeln gibt es eine feste Anzahl unabhängiger Versuche mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit 1/6, X zählt die Treffer. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug, dort liegt keine Bernoulli-Kette vor.
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Frage 2
Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. X ist die Anzahl der Würfe mit „Kopf“.
Wie groß ist P(X = 2)?
Richtige Antwort: C
P(X = 2) = (5 über 2) · 0,5² · 0,5³ = 10 · 0,03125 = 0,3125. Der Wert 0,03125 gilt nur für eine bestimmte Reihenfolge; der Binomialkoeffizient 10 zählt alle Reihenfolgen.
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Frage 3
X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,2.
Welchen Erwartungswert hat X?
Richtige Antwort: D
Für eine Binomialverteilung gilt E(X) = n · p = 10 · 0,2 = 2. Der Wert 1,6 ist die Varianz n · p · (1 − p), nicht der Erwartungswert.
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Frage 4
X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,4.
Wie groß ist die Varianz V(X)?
Richtige Antwort: A
V(X) = n · p · (1 − p) = 50 · 0,4 · 0,6 = 12. 20 ist der Erwartungswert, und 3,46 ≈ 12 ist die Standardabweichung.
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Frage 5
Ein Bauteil ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 defekt. Es werden 4 Bauteile unabhängig voneinander geprüft.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eines defekt?
Richtige Antwort: B
Über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,94 = 1 − 0,6561 = 0,3439. 0,6561 ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bauteil defekt ist, und 0,2916 ist P(X = 1).
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Frage 6
Bei 6 Würfen sollen genau 2 Treffer auftreten.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen von Treffern und Nieten gibt es dafür?
Richtige Antwort: A
Gesucht ist der Binomialkoeffizient (6 über 2) = 6 · 5 / 2 = 15. Der Wert 30 = 6 · 5 zählt jede Auswahl doppelt, weil die beiden Treffer nicht unterscheidbar sind.
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Frage 7
Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Sechs fällt (gerundet)?
Richtige Antwort: C
P(X = 0) = (5/6)³ = 125/216 ≈ 0,579. 0,421 ist die Gegenwahrscheinlichkeit, also mindestens eine Sechs, und 0,005 ≈ 1/216 gilt für drei Sechsen.
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Frage 8
Bei einem Spiel zahlst du 2 € Einsatz. Mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 bekommst du 10 € ausgezahlt, mit 0,2 bekommst du 3 €, sonst nichts. Der Einsatz wird nicht zurückgegeben.
Welchen Gewinn erwartest du pro Spiel?
Richtige Antwort: D
Die erwartete Auszahlung ist 0,1 · 10 + 0,2 · 3 = 1,60 €. Zieht man den Einsatz ab, bleibt 1,60 − 2 = −0,40 €, du verlierst also im Mittel 40 Cent. +1,60 € ist nur die Auszahlung ohne Einsatz.
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Frage 9
Bei einem Würfelspiel bekommst du bei einer Sechs 6 € ausgezahlt, sonst nichts. Der Einsatz wird nicht zurückgegeben.
Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
Richtige Antwort: A
Fair heißt: Der Erwartungswert des Gewinns ist 0. Die erwartete Auszahlung ist 1/6 · 6 € = 1 €, also muss der Einsatz 1 € betragen.
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Frage 10
Wie oft musst du einen fairen Würfel mindestens werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens eine Sechs fällt?
Richtige Antwort: C
Aus 1 − (5/6)n ≥ 0,9 folgt (5/6)n ≤ 0,1, also n ≥ ln 0,1 / ln(5/6) ≈ 12,6. Daher reichen erst 13 Würfe. Bei 12 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit nur bei etwa 88,8 %.
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Frage 11
X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,2.
Wie groß ist P(X ≤ 1) (gerundet)?
Richtige Antwort: B
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,85 + 5 · 0,2 · 0,84 = 0,32768 + 0,4096 ≈ 0,737. 0,328 ist nur P(X = 0) und 0,410 nur P(X = 1).
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Frage 12
X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,3.
Wie kannst du P(X > 5) mit einer Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?
Richtige Antwort: D
„Mehr als 5“ bedeutet X ≥ 6. Das Gegenereignis ist X ≤ 5, also P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5). Mit 1 − P(X ≤ 6) würde man den Wert X = 6 fälschlich ausschließen.
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Frage 13
X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,35.
Für welchen Wert k ist P(X = k) am größten?
Richtige Antwort: A
Es gilt P(X = 3) ≈ 0,252 und P(X = 4) ≈ 0,238, die anderen Werte sind kleiner. Der Erwartungswert ist 3,5, aber X kann nur ganze Werte annehmen, und der wahrscheinlichste Wert ist hier 3, nicht 4.
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Frage 14
Ein Medikament wirkt bei jeder Patientin und jedem Patienten unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Es wird an 25 Personen gegeben.
Bei wie vielen Personen erwartest du, dass es nicht wirkt?
Richtige Antwort: B
Die Wahrscheinlichkeit für „wirkt nicht“ ist 0,2, also E = 25 · 0,2 = 5. Die 20 ist die erwartete Anzahl der Personen, bei denen es wirkt.
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Frage 15
Eine faire Münze wird 100-mal geworfen. X ist die Anzahl der Würfe mit „Zahl“.
Wie groß ist die Standardabweichung von X?
Richtige Antwort: C
σ = n · p · (1 − p) = 100 · 0,5 · 0,5 = 25 = 5. 25 ist die Varianz, 50 der Erwartungswert.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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