Abitur Mathe üben: Analysis (Übungstest)
- Analysis: Ableitungen, Kurvendiskussion und Integrale
- 15 Fragen
- 25 Minuten
15 Aufgaben zu Ableitungen, Kurvendiskussion und Integralen, wie sie in der Analysis im Abitur vorkommen. Rechne auf einem Blatt mit und prüfe bei Extrempunkten immer auch die zweite Ableitung.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: A
Mit der Potenzregel wird x³ zu 3x², −6x² zu −12x und 9x zu 9; die Konstante 1 fällt weg. Bei 3x² − 6x + 9 wurde der Exponent 2 beim Ableiten von −6x² vergessen.
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Frage 2
Für f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 gilt f'(x) = 3x² − 12x + 9.
Welche Aussage über den Extrempunkt bei x = 1 ist richtig?
Richtige Antwort: B
f'(1) = 0 und f''(x) = 6x − 12 ergibt f''(1) = −6 < 0, also ein Hochpunkt. Der y-Wert ist f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5. Bei x = 3 liegt dagegen der Tiefpunkt T(3|1).
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Frage 3
Welchen Wendepunkt hat der Graph von f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1?
Richtige Antwort: C
f''(x) = 6x − 12 = 0 liefert x = 2, und f'''(x) = 6 ≠ 0 bestätigt den Wendepunkt. Der Funktionswert ist f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3. W(3|1) ist der Tiefpunkt, nicht der Wendepunkt.
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Frage 4
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x · e2x?
Richtige Antwort: D
Produktregel: u = x, v = e2x mit v' = 2e2x (Kettenregel). Also f'(x) = 1 · e2x + x · 2e2x = (1 + 2x) · e2x. Bei (1 + x) · e2x fehlt der innere Faktor 2.
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Frage 5
Wie lautet die Ableitung von f(x) = (3x − 1)4?
Richtige Antwort: C
Kettenregel: äußere Ableitung 4(3x − 1)³ mal innere Ableitung 3 ergibt 12(3x − 1)³. Bei 4(3x − 1)³ wurde die innere Ableitung vergessen.
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Frage 6
Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = x² im Punkt P(3|9)?
Richtige Antwort: A
Die Steigung ist f'(3) = 2 · 3 = 6. Aus 9 = 6 · 3 + b folgt b = −9, also y = 6x − 9. Die Gerade y = 3x geht zwar durch P, hat aber die Steigung der Sekante durch den Ursprung, nicht die der Tangente.
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Frage 7
Berechne ∫02 (3x² + 1) dx.
Richtige Antwort: B
Eine Stammfunktion ist F(x) = x³ + x, also F(2) − F(0) = 8 + 2 = 10. Der Wert 26 entsteht, wenn man 3x² zu 3x³ statt zu x³ integriert.
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Frage 8
Gegeben ist f(x) = 4x³ − 2x² für x ≠ 0.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f?
Richtige Antwort: B
Schreibe −2/x² als −2x−2. Integriert ergibt das −2 · x−1/(−1) = 2/x. Probe: Die Ableitung von 2/x ist −2/x². 12x² + 4/x³ ist die Ableitung von f, keine Stammfunktion.
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Frage 9
Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = x schneiden sich bei x = 0 und x = 1.
Wie groß ist die Fläche, die beide Graphen einschließen?
Richtige Antwort: A
Zwischen 0 und 1 liegt g über f, also A = ∫01 (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6. Die Werte 1/2 und 1/3 sind nur die Flächen unter den einzelnen Graphen.
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Frage 10
Auf welchem Intervall ist f(x) = x³ − 3x streng monoton fallend?
Richtige Antwort: D
f'(x) = 3x² − 3 ist zwischen den Nullstellen −1 und 1 negativ (nur an den Rändern null), also fällt f auf [−1; 1]. Auf ]−∞; −1] und [1; ∞[ ist f'(x) ≥ 0, dort steigt f. Die Werte 0 und ±3 sind die Nullstellen von f, nicht von f'.
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Frage 11
Der Graph der Ableitung f' hat bei x = 2 eine Nullstelle, an der f' das Vorzeichen von + nach − wechselt.
Was folgt daraus für den Graphen von f?
Richtige Antwort: C
Vor x = 2 steigt f (f' > 0), danach fällt f (f' < 0), also liegt ein Hochpunkt vor. Ein Wendepunkt von f gehört zu einem Extrempunkt von f', nicht zu einer Nullstelle von f'.
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Frage 12
Von einer differenzierbaren Funktion f weißt du: f(1) = 2 und f(4) = 7.
Welchen Wert hat ∫14 f'(x) dx?
Richtige Antwort: A
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist f eine Stammfunktion von f', also gilt ∫14 f'(x) dx = f(4) − f(1) = 7 − 2 = 5. Der Wert −5 entsteht durch die vertauschte Reihenfolge f(1) − f(4).
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Frage 13
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(x² + 1)?
Richtige Antwort: D
Die Ableitung von ln(u) ist u'/u. Mit u = x² + 1 und u' = 2x ergibt sich 2x/(x² + 1). Bei 1/(x² + 1) fehlt die innere Ableitung.
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Frage 14
Welche Nullstellen hat f(x) = (x − 2) · ex?
Richtige Antwort: B
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. ex ist immer positiv, also bleibt nur x − 2 = 0, d. h. x = 2. Die Nullstelle x = 0 ist ein typischer Fehler, weil e0 = 1 und nicht 0 ist.
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Frage 15
Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit v(t) = 2t + 1 (t in Sekunden, v in Metern pro Sekunde).
Welche Strecke legt es in den ersten 3 Sekunden zurück?
Richtige Antwort: D
Die Strecke ist das Integral der Geschwindigkeit: ∫03 (2t + 1) dt = [t² + t]03 = 9 + 3 = 12 m. 7 ist nur die Geschwindigkeit v(3), und 9 m entstehen, wenn man den Summanden 1 vergisst.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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