Abitur Mathe üben: Trigonometrische Funktionen (Übungstest)
- Sinus- und Kosinusfunktionen
- 10 Fragen
- 13 Minuten
10 Aufgaben zu Funktionen der Form f(x) = a · sin(b · (x − c)) + d. Tipp: a bestimmt die Amplitude, b die Periode p = 2π/b, d die Verschiebung der Mittellinie.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = 3 · sin(2x) + 1.
Welche Amplitude und welche Periode hat f?
Richtige Antwort: C
Die Amplitude ist der Faktor vor dem Sinus, also 3; die +1 verschiebt nur die Mittellinie. Die Periode ist 2π : 2 = π. Periode 4π entsteht, wenn man 2π mit 2 multipliziert statt dividiert.
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Frage 2
Gegeben ist f(x) = 2 · cos(x) − 1.
Welchen Wertebereich hat f?
Richtige Antwort: A
cos(x) liegt zwischen −1 und 1, mal 2 ergibt [−2; 2], minus 1 ergibt [−3; 1]. [−1; 3] entsteht, wenn man die Verschiebung um 1 in die falsche Richtung ausführt.
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Frage 3
Gegeben ist f(x) = sin(π6 x).
Welche Periode hat f?
Richtige Antwort: D
p = 2π : π6 = 2π · 6π = 12. Der Wert 6 ergibt sich, wenn man nur π durch π/6 teilt und den Faktor 2 vergisst.
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Frage 4
Gegeben ist f(x) = cos(4x).
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: B
Die Ableitung von cos ist −sin, nach der Kettenregel kommt der innere Faktor 4 dazu. Bei 4 · sin(4x) fehlt das Minuszeichen, bei −sin(4x) die innere Ableitung.
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Frage 5
Welchen Wert hat ∫0π sin(x) dx?
Richtige Antwort: D
Eine Stammfunktion ist −cos(x): −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Das Ergebnis 0 gilt erst für das Intervall von 0 bis 2π, wo sich positive und negative Flächen aufheben.
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Frage 6
Welche Lösungen hat die Gleichung sin(x) = 12 im Intervall [0; 2π]?
Richtige Antwort: B
sin(π/6) = 1/2, und wegen sin(π − x) = sin(x) ist auch 5π/6 eine Lösung. Bei 7π/6 und 11π/6 ist der Sinus −1/2, bei π/3 gilt cos(π/3) = 1/2, nicht der Sinus.
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Frage 7
Gegeben ist f(x) = sin(x).
Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt (π | 0)?
Richtige Antwort: C
f'(π) = cos(π) = −1, also y = −1 · (x − π) + 0 = −x + π. y = x − π hätte die Steigung +1, dabei ist cos(π) = −1.
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Frage 8
Die Tageslänge an einem Ort wird modelliert durch T(t) = 12 + 4 · sin(2π365 · (t − 80)), t in Tagen ab Jahresbeginn, T in Stunden.
Wie lang ist laut Modell der längste Tag, und wann ist er etwa?
Richtige Antwort: A
Das Maximum ist 12 + 4 = 16, erreicht wenn das Sinusargument π/2 ist: t − 80 = 365/4 ≈ 91, also t ≈ 171. An Tag 80 ist das Argument 0, dort hat T nur den Mittelwert 12 und steigt.
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Frage 9
Welche Funktion ist gleich g(x) = sin(x − π2)?
Richtige Antwort: B
Verschiebt man den Sinus um π/2 nach rechts, liegt bei x = 0 der Wert sin(−π/2) = −1. Das ist genau −cos(x). cos(x) wäre die Verschiebung um π/2 nach links, also sin(x + π/2).
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Frage 10
Gegeben ist f(x) = 2 · sin(x) + 3.
Welchen Mittelwert hat f über dem Intervall [0; 2π]?
Richtige Antwort: A
Mittelwert = 12π · ∫02π (2 sin(x) + 3) dx = 12π · (0 + 6π) = 3. Der Sinusanteil mittelt sich über eine volle Periode weg; 5 ist nur das Maximum.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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