Abitur Mathe üben: Steckbriefaufgaben (Übungstest)
- Steckbriefaufgaben: Funktionen aus Bedingungen
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zur Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen. Tipp: Eine Funktion n-ten Grades hat n + 1 Koeffizienten, du brauchst also n + 1 unabhängige Bedingungen.
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Frage 1
Wie viele Bedingungen brauchst du, um eine ganzrationale Funktion 3. Grades ohne weitere Vorgaben eindeutig zu bestimmen?
Richtige Antwort: D
f(x) = ax³ + bx² + cx + d hat vier Koeffizienten, also braucht man vier Gleichungen. Mit drei Bedingungen bliebe ein Parameter frei.
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Frage 2
Der Graph von f hat im Punkt P(2 | 5) einen Hochpunkt. Welche Bedingungen folgen daraus?
Richtige Antwort: B
Der Punkt liegt auf dem Graphen (f(2) = 5), und an einer Extremstelle ist die Steigung null (f'(2) = 0). f''(2) = 0 wäre eine Wendepunktbedingung; bei (5 | 2) sind x- und y-Wert vertauscht.
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Frage 3
Der Graph von f hat bei x = 1 einen Wendepunkt. Welche Bedingung kannst du aufstellen?
Richtige Antwort: A
Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(1) = 0. f'(1) = 0 gilt nur bei einem Sattelpunkt, und f'''(1) muss dort gerade ungleich null sein.
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Frage 4
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Welcher Ansatz ist richtig?
Richtige Antwort: C
Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet: nur ungerade Exponenten. Damit fallen x² und das absolute Glied weg. Ein Ansatz mit x² würde die Symmetrie zerstören.
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Frage 5
Eine Parabel f(x) = ax² + bx + c verläuft durch A(0 | 1), B(1 | 0) und C(2 | 3). Wie lautet f(x)?
Richtige Antwort: A
Aus A folgt c = 1. B und C liefern a + b = −1 und 4a + 2b = 2, also a = 2 und b = −3. Probe: f(2) = 8 − 6 + 1 = 3. Bei 3x² − 4x + 1 stimmt B, aber f(2) wäre 5.
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Frage 6
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(3 | −2) und verläuft durch P(5 | 6). Wie lautet ihre Gleichung?
Richtige Antwort: D
Scheitelform f(x) = a(x − 3)² − 2. Mit P: 6 = a · 4 − 2, also a = 2. Bei (x + 3)² läge der Scheitel bei x = −3, das Vorzeichen in der Klammer ist umgekehrt.
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Frage 7
Gesucht ist f(x) = ax³ + bx². Der Graph hat bei x = 1 einen Wendepunkt und verläuft durch P(2 | 4).
Wie lautet f(x)?
Richtige Antwort: C
f''(x) = 6ax + 2b, aus f''(1) = 0 folgt b = −3a. Mit f(2) = 8a + 4b = −4a = 4 ergibt sich a = −1, b = 3. Bei x³ − 3x² stimmt der Wendepunkt, aber f(2) = −4.
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Frage 8
Der Graph von f berührt die x-Achse bei x = 4. Welche Bedingungen folgen daraus?
Richtige Antwort: B
Berühren heißt: Der Graph hat dort eine Nullstelle und eine waagerechte Tangente. Nur f(4) = 0 beschreibt auch ein Schneiden der Achse und reicht deshalb nicht.
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Frage 9
Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1 hat die Gleichung y = 3x − 2. Welche Bedingungen folgen daraus?
Richtige Antwort: D
Graph und Tangente haben bei x = 1 denselben Funktionswert: 3 · 1 − 2 = 1. Die Steigung der Tangente ist f'(1) = 3. Der y-Achsenabschnitt −2 ist keine Steigung.
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Frage 10
Gesucht ist eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades f(x) = ax⁴ + bx² + c. Ihr Graph hat den Hochpunkt H(0 | 2) und den Tiefpunkt T(1 | 0).
Wie lautet f(x)?
Richtige Antwort: A
Aus H folgt c = 2. f(1) = a + b + 2 = 0 und f'(1) = 4a + 2b = 0 liefern a = 2, b = −4. Bei x⁴ − 3x² + 2 ist zwar f(1) = 0, aber f'(1) = −2, also kein Tiefpunkt bei x = 1.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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