Abitur Mathe üben: Stochastik Grundlagen (Übungstest)
- Laplace, Baumdiagramme und Kombinatorik
- 10 Fragen
- 12 Minuten
10 Aufgaben zu Laplace-Experimenten, Baumdiagrammen, Zählprinzipien und Zufallsgrößen. Tipp: Bei „mindestens einmal“ ist das Gegenereignis „keinmal“ fast immer der schnellste Weg.
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Frage 1
Zwei faire Würfel werden geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 8 beträgt?
Richtige Antwort: B
Günstig sind (2|6), (3|5), (4|4), (5|3) und (6|2), also 5 von 36 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. 16 wäre richtig für die Augensumme 7.
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Frage 2
Eine faire Münze wird dreimal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal „Kopf“ zu werfen?
Richtige Antwort: D
Gegenereignis: dreimal „Zahl“ mit Wahrscheinlichkeit (12)3 = 18. Also 1 − 18 = 78. 38 ist nur die Wahrscheinlichkeit für genau einmal „Kopf“.
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Frage 3
In einer Urne liegen 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind?
Richtige Antwort: C
58 · 47 = 2056 = 514. Nach dem ersten Zug sind nur noch 7 Kugeln da, davon 4 rote. 2564 gälte mit Zurücklegen.
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Frage 4
Aus 10 Personen soll ein Ausschuss aus 3 gleichberechtigten Mitgliedern gebildet werden.
Wie viele verschiedene Ausschüsse sind möglich?
Richtige Antwort: B
Die Reihenfolge spielt keine Rolle, also ist es der Binomialkoeffizient „10 über 3“ = 10 · 9 · 83 · 2 · 1 = 120. 720 zählt jede Gruppe sechsmal, nämlich in jeder Reihenfolge.
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Frage 5
Eine Zufallsgröße X nimmt die Werte 0, 1, 2 und 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,4; 0,3; 0,2 und 0,1 an.
Welchen Erwartungswert hat X?
Richtige Antwort: B
E(X) = 0 · 0,4 + 1 · 0,3 + 2 · 0,2 + 5 · 0,1 = 0 + 0,3 + 0,4 + 0,5 = 1,2. 2,0 ist der einfache Durchschnitt der vier Werte, ohne Gewichtung mit den Wahrscheinlichkeiten.
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Frage 6
Ein Glücksrad zeigt Rot mit der Wahrscheinlichkeit 12, Blau mit 13 und Gelb mit 16. Es wird zweimal gedreht.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal dieselbe Farbe erscheint?
Richtige Antwort: A
Drei Pfade: 14 + 19 + 136 = 936 + 436 + 136 = 1436 = 718. 1118 ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also zweier verschiedener Farben.
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Frage 7
Auf wie viele Arten kann man die sechs verschiedenen Buchstaben des Wortes ABITUR anordnen?
Richtige Antwort: C
Für die erste Stelle gibt es 6 Möglichkeiten, dann 5, 4, 3, 2 und 1: 6! = 720. 46656 = 66 würde erlauben, Buchstaben mehrfach zu verwenden.
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Frage 8
Eine vierstellige PIN wird aus den Ziffern 0 bis 9 gebildet, und alle vier Ziffern sollen verschieden sein.
Wie viele solche PINs gibt es?
Richtige Antwort: D
10 · 9 · 8 · 7 = 5040, weil jede schon verwendete Ziffer wegfällt und die Reihenfolge zählt. 210 wäre die Anzahl der Ziffernmengen ohne Beachtung der Reihenfolge.
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Frage 9
Eine Zufallsgröße X nimmt die Werte 0 und 2 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 an.
Welche Varianz hat X?
Richtige Antwort: C
E(X) = 1. V(X) = 0,5 · (0 − 1)2 + 0,5 · (2 − 1)2 = 1. Die 2 entsteht, wenn man E(X2) = 2 schon für die Varianz hält und E(X)2 nicht abzieht.
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Frage 10
Für zwei Ereignisse gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∩ B) = 0,1.
Wie groß ist P(A ∪ B)?
Richtige Antwort: A
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,1 = 0,8. 0,9 entsteht, wenn man die Schnittmenge doppelt zählt.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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