Abitur Mathe üben: Binomialverteilung (Übungstest)
- Binomialverteilung berechnen und deuten
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zur Binomialverteilung mit der Bernoulli-Formel und kumulierten Werten F(k) = P(X ≤ k). Tipp: Schreibe bei Bereichen wie 2 ≤ X ≤ 5 zuerst auf, welche k-Werte genau gemeint sind.
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Frage 1
Eine faire Münze wird achtmal geworfen. X ist die Anzahl der Würfe mit „Kopf“.
Wie groß ist P(X = 4) (gerundet)?
Richtige Antwort: A
P(X = 4) = „8 über 4“ · 0,58 = 70256 ≈ 0,273. 0,219 ist P(X = 3). Die 0,5 ist zu groß, weil auch alle anderen Trefferzahlen möglich sind.
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Frage 2
X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,3.
Wie groß ist P(X = 0) (gerundet)?
Richtige Antwort: B
Kein Treffer heißt zehnmal Niete: 0,710 ≈ 0,028. Die Wahrscheinlichkeit ist klein, aber nicht null. 0,7 wäre die Wahrscheinlichkeit für nur eine einzelne Niete.
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Frage 3
X ist binomialverteilt mit n = 12 und p = 0,25.
Welcher Term berechnet P(X = 3)?
Richtige Antwort: B
Bernoulli-Formel: „n über k“ · pk · (1 − p)n − k mit k = 3 und n − k = 9. Ohne Binomialkoeffizient zählt man nur einen einzigen Pfad statt aller Reihenfolgen.
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Frage 4
X ist binomialverteilt; F(k) bezeichnet die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k).
Wie berechnest du P(2 ≤ X ≤ 5)?
Richtige Antwort: C
P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) − P(X ≤ 1), denn X = 2 soll mitgezählt werden. Bei F(5) − F(2) fehlt der Wert X = 2.
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Frage 5
X ist binomialverteilt mit n = 20 und unbekanntem p.
Für welches p ist die Varianz von X am größten?
Richtige Antwort: C
V(X) = n · p · (1 − p). Das Produkt p · (1 − p) ist bei p = 0,5 maximal (0,25). Bei p = 1 ist die Varianz sogar 0, weil dann jeder Versuch ein Treffer ist.
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Frage 6
Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert 6 und die Varianz 4,2.
Welche Parameter hat sie?
Richtige Antwort: A
Aus V(X) / E(X) = 1 − p = 0,7 folgt p = 0,3 und dann n = 6 / 0,3 = 20. Alle Paare haben zwar den Erwartungswert 6, aber nur dieses die Varianz 20 · 0,3 · 0,7 = 4,2.
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Frage 7
X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,4.
Wie groß ist P(X ≥ 4) (gerundet)?
Richtige Antwort: D
P(X = 4) + P(X = 5) = 5 · 0,44 · 0,6 + 0,45 = 0,0768 + 0,01024 ≈ 0,087. 0,077 ist nur P(X = 4); 0,913 ist die Gegenwahrscheinlichkeit.
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Frage 8
X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,5.
Welche Aussage ist richtig?
Richtige Antwort: D
Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch zu 10, also sind 8 und 12 gleich wahrscheinlich. P(X ≤ 10) ist größer als 0,5 (etwa 0,588), weil der Wert 10 selbst mitzählt.
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Frage 9
Ein kleines Flugzeug hat 9 Plätze, es werden 10 Tickets verkauft. Jede Person erscheint unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,8.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen alle 10 Personen (gerundet)?
Richtige Antwort: D
Alle 10 erscheinen: 0,810 ≈ 0,107. Dann reicht der Platz nicht. 0,268 ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 9 Personen kommen.
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Frage 10
Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. X ist die Anzahl der Sechsen.
Wie groß ist P(X ≤ 2) (gerundet)?
Richtige Antwort: B
Das Gegenereignis ist X = 3 mit (16)3 = 1216 ≈ 0,005. Also P(X ≤ 2) = 215216 ≈ 0,995. 0,926 ist P(X ≤ 1), also „weniger als zwei Sechsen“.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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