Abitur Mathe üben: Exponentialfunktionen (Übungstest)
- Exponentielles Wachstum und e-Funktion
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zu exponentiellem Wachstum und Zerfall und zur e-Funktion. Tipp: Gleichungen wie ekx = c löst du, indem du auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus nimmst.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
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Frage 1
Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 500 Bakterien und wächst pro Stunde um 20 %.
Welche Funktion beschreibt die Anzahl nach t Stunden?
Richtige Antwort: A
Eine Zunahme um 20 % pro Stunde heißt: Jede Stunde wird mit dem Faktor 1,2 multipliziert. 500 · 0,2t würde bedeuten, dass jede Stunde nur 20 % übrig bleiben.
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Frage 2
Ein Wirkstoff wird im Körper so abgebaut, dass jede Stunde 10 % der vorhandenen Menge verschwinden.
Wie groß ist die Halbwertszeit (gerundet)?
Richtige Antwort: B
Gesucht ist t mit 0,9t = 0,5, also t = ln 0,5ln 0,9 ≈ 6,58. 5 Stunden ergäben sich nur bei linearem Abbau, 6,9 Stunden ist die Näherung ln 2 / 0,1, die hier zu ungenau ist.
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Frage 3
Welche Lösung hat die Gleichung e2x = 5?
Richtige Antwort: C
Logarithmieren ergibt 2x = ln 5, also x = 12 · ln 5 ≈ 0,80. ln 2,5 entsteht, wenn man die 2 schon vor dem Logarithmieren durch die 5 teilt.
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Frage 4
Gegeben ist f(x) = 3e−0,5x.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: A
Die e-Funktion bleibt erhalten, die innere Ableitung −0,5 kommt als Faktor dazu: 3 · (−0,5) = −1,5. Ohne das Minus der inneren Ableitung entsteht +1,5.
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Frage 5
Gegeben ist f(x) = 2 − 3e−x.
Welche waagerechte Asymptote hat der Graph für x → +∞?
Richtige Antwort: D
Für x → +∞ geht e−x gegen 0, also f(x) gegen 2. Der Wert −1 ist nur f(0) = 2 − 3, der Schnittpunkt mit der y-Achse.
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Frage 6
Ein Bestand wächst nach f(t) = 200 · e0,05t (t in Jahren).
Um wie viel Prozent wächst der Bestand pro Jahr (gerundet)?
Richtige Antwort: B
Der jährliche Wachstumsfaktor ist e0,05 ≈ 1,0513, also etwa 5,1 % pro Jahr. Die Wachstumskonstante 0,05 ist nicht dasselbe wie die Prozentrate; sie liegt nur in der Nähe.
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Frage 7
Ein Bestand wächst nach N(t) = N0 · e0,1t (t in Tagen).
Nach wie vielen Tagen hat er sich verdoppelt (gerundet)?
Richtige Antwort: C
Aus e0,1t = 2 folgt t = ln 20,1 ≈ 6,93. Die Verdopplungszeit hängt nicht vom Anfangsbestand ab. 10 Tage wären der Kehrwert von 0,1 ohne ln 2.
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Frage 8
Eine Funktion f(t) = a · ekt erfüllt f(0) = 4 und f(2) = 36.
Welchen Wert hat k?
Richtige Antwort: D
Aus f(0) = 4 folgt a = 4. Dann gilt 4e2k = 36, also e2k = 9 und 2k = ln 9, d. h. k = 12 ln 9 = ln 3. Mit k = ln 9 wurde die Division durch 2 vergessen.
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Frage 9
Welchen Wert hat das Integral von 0 bis ln 2 über ex dx?
Richtige Antwort: C
ex ist seine eigene Stammfunktion: eln 2 − e0 = 2 − 1 = 1. Die 2 entsteht, wenn man den Wert an der unteren Grenze nicht abzieht.
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Frage 10
Gegeben ist f(x) = x · e−x.
Welchen Extrempunkt hat der Graph von f?
Richtige Antwort: D
f'(x) = (1 − x) · e−x ist nur bei x = 1 null und wechselt dort von + nach −. Also liegt ein Hochpunkt vor, mit f(1) = e−1 = 1e.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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