Abitur Mathe üben: Hypothesentests (Übungstest)
- Hypothesentests: Fehlerarten und Ablehnungsbereich
- 10 Fragen
- 15 Minuten
10 Aufgaben zu einseitigen Tests mit binomialverteilter Testgröße. Werte der Binomialverteilung kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Tipp: Der Ablehnungsbereich liegt immer auf der Seite der Gegenhypothese.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
Dein Ergebnis
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Frage 1
Was bezeichnet man bei einem Hypothesentest als Fehler 1. Art?
Richtige Antwort: A
Der Fehler 1. Art ist die irrtümliche Ablehnung einer wahren Nullhypothese; seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens das Signifikanzniveau. Das Beibehalten einer falschen H0 ist der Fehler 2. Art.
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Frage 2
Was bezeichnet man als Fehler 2. Art?
Richtige Antwort: C
Beim Fehler 2. Art fällt das Ergebnis nicht in den Ablehnungsbereich, obwohl in Wahrheit die Gegenhypothese gilt. Eine Ablehnung einer falschen H0 ist dagegen eine richtige Entscheidung.
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Frage 3
Ein Hersteller gibt an, dass mindestens 90 % seiner Geräte fehlerfrei sind. Eine Verbraucherorganisation will mit einer Stichprobe zeigen, dass der Anteil kleiner ist; sie will die Angabe des Herstellers nur mit geringer Irrtumswahrscheinlichkeit zurückweisen.
Welcher Test passt?
Richtige Antwort: B
Was man nachweisen will (p < 0,9), wird zur Gegenhypothese; die Behauptung des Herstellers ist H0. Kleine Trefferzahlen sprechen gegen H0, also ist der Test linksseitig.
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Frage 4
Rechtsseitiger Test: H0: p ≤ 0,3, Stichprobenumfang n = 50, Signifikanzniveau 5 %. Unter p = 0,3 gilt P(X ≥ 20) ≈ 0,085, P(X ≥ 21) ≈ 0,048 und P(X ≥ 22) ≈ 0,025.
Wie lautet der Ablehnungsbereich?
Richtige Antwort: D
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05; das ist k = 21. Mit k = 20 läge die Irrtumswahrscheinlichkeit bei 8,5 %, also über 5 %. k = 22 wäre zulässig, aber nicht der größtmögliche Bereich.
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Frage 5
Was gibt das Signifikanzniveau α eines Tests an?
Richtige Antwort: D
α wird vor dem Test festgelegt und begrenzt die Wahrscheinlichkeit, eine wahre H0 abzulehnen. Über die Wahrscheinlichkeit, dass H0 wahr ist, macht ein klassischer Test keine Aussage.
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Frage 6
Bei einem Test mit n = 100 und H0: p = 0,2 ist der Ablehnungsbereich {28; …; 100}. Unter p = 0,2 gilt P(X ≥ 27) ≈ 0,056, P(X ≥ 28) ≈ 0,034 und P(X ≥ 29) ≈ 0,020.
Wie groß ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art?
Richtige Antwort: A
Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn bei p = 0,2 ein Wert im Ablehnungsbereich auftritt: P(X ≥ 28) ≈ 0,034. 96,6 % ist die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Chance, H0 zu Recht beizubehalten.
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Frage 7
Bei gleichem Stichprobenumfang wird das Signifikanzniveau von 5 % auf 10 % erhöht. Was passiert?
Richtige Antwort: C
Ein größeres α erlaubt mehr Werte im Ablehnungsbereich. Damit wird H0 öfter abgelehnt: Der Fehler 1. Art wird wahrscheinlicher, der Fehler 2. Art unwahrscheinlicher.
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Frage 8
Linksseitiger Test mit n = 20 und H0: p = 0,5; der Ablehnungsbereich ist {0; 1; …; 5}. In Wahrheit ist p = 0,3. Unter p = 0,3 gilt P(X ≤ 5) ≈ 0,416.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art?
Richtige Antwort: B
Ein Fehler 2. Art passiert, wenn X trotz p = 0,3 nicht im Ablehnungsbereich liegt: P(X ≥ 6) = 1 − 0,416 ≈ 0,584. 41,6 % ist die Wahrscheinlichkeit, H0 richtig abzulehnen.
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Frage 9
Linksseitiger Test: H0: p ≥ 0,6, n = 100, α = 5 %. Unter p = 0,6 gilt P(X ≤ 50) ≈ 0,027, P(X ≤ 51) ≈ 0,042 und P(X ≤ 52) ≈ 0,064.
Wie lautet der Ablehnungsbereich?
Richtige Antwort: B
Gesucht ist das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05, also k = 51. Mit 52 würde die Irrtumswahrscheinlichkeit 6,4 % betragen. Ein Bereich bei großen Werten passt nicht zu einem linksseitigen Test.
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Frage 10
Das Stichprobenergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich.
Welche Folgerung ist korrekt?
Richtige Antwort: A
Das Ergebnis spricht nur nicht deutlich genug gegen H0; ein Fehler 2. Art ist möglich. Eine Wahrscheinlichkeit für die Wahrheit von H0 liefert der Test nicht.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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