Abitur Mathe üben: Matrizen und Übergangsprozesse (Übungstest)
- Matrizen, Übergangsmatrizen und Populationen
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zu Matrizen und mehrstufigen Prozessen. In diesem Test gilt: Die Spalten einer Übergangsmatrix geben an, wohin die Anteile eines Zustands wechseln, und der neue Zustand ist vn+1 = M · vn.
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Frage 1
Gegeben sind die Matrizen A und B:
A =
1 2 3 0 B =
2 -1 1 4 Welcher Eintrag steht im Produkt A · B in der 1. Zeile und 2. Spalte?
Richtige Antwort: B
1. Zeile von A mal 2. Spalte von B: 1 · (−1) + 2 · 4 = 7. Die 6 ist der Eintrag in der 2. Zeile, 1. Spalte (3 · 2 + 0 · 1).
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Frage 2
Gegeben ist die Matrix A:
2 1 5 3 Welcher Eintrag steht in der inversen Matrix A−1 oben rechts?
Richtige Antwort: A
det A = 2 · 3 − 1 · 5 = 1. Für eine 2×2-Matrix gilt: Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale mit −1 multiplizieren, durch det A teilen. Oben rechts steht also −1. Die −5 gehört nach unten links.
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Frage 3
Zwei Anbieter A und B teilen sich 300 Kunden. Jedes Jahr gilt die Übergangsmatrix
0,8 0,3 0,2 0,7 (1. Spalte: von A, 2. Spalte: von B; 1. Zeile: nach A, 2. Zeile: nach B). Zu Beginn hat A 100 und B 200 Kunden.
Wie viele Kunden haben A und B nach einem Jahr?
Richtige Antwort: D
A: 0,8 · 100 + 0,3 · 200 = 140; B: 0,2 · 100 + 0,7 · 200 = 160. Die Summe bleibt 300. Bei 80/220 wurde nur der Verbleib bei A berechnet und die Zuwanderung von B vergessen.
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Frage 4
Wieder gilt für die insgesamt 300 Kunden die Übergangsmatrix
0,8 0,3 0,2 0,7 Bei welcher Verteilung bleibt die Kundenzahl von Jahr zu Jahr gleich (stationäre Verteilung)?
Richtige Antwort: C
Stationär heißt: Abwanderung von A gleich Zuwanderung zu A, also 0,2a = 0,3b mit a + b = 300. Daraus folgt a = 180, b = 120. Bei 120/180 sind die Rollen von A und B vertauscht.
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Frage 5
In der Übergangsmatrix
0,8 0,3 0,2 0,7 steht in der 1. Zeile, 2. Spalte der Wert 0,3.
Was bedeutet dieser Eintrag?
Richtige Antwort: A
Die Spalte gibt den Ausgangszustand an (B), die Zeile den Zielzustand (A). Der Wechsel von A zu B steht in der 2. Zeile, 1. Spalte und beträgt 0,2.
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Frage 6
In einer Übergangsmatrix mit zwei Zuständen fehlt ein Eintrag x:
0,5 x 0,5 0,6 Welchen Wert muss x haben?
Richtige Antwort: B
In jeder Spalte einer Übergangsmatrix ist die Summe 1, weil jeder Anteil irgendwohin geht. 2. Spalte: x + 0,6 = 1, also x = 0,4. x = 0,5 ergibt sich, wenn man fälschlich die Zeilensumme betrachtet.
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Frage 7
Wieder gilt die Übergangsmatrix
0,8 0,3 0,2 0,7 Welcher Anteil der heutigen Kunden von A ist nach zwei Jahren wieder (oder noch) bei A?
Richtige Antwort: C
Zwei Wege führen von A nach A: A → A → A mit 0,8 · 0,8 = 0,64 und A → B → A mit 0,2 · 0,3 = 0,06. Zusammen 0,70; das ist der Eintrag oben links in M². 0,64 berücksichtigt nur den ersten Weg.
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Frage 8
Mit derselben Übergangsmatrix
0,8 0,3 0,2 0,7 hat A nach einem Jahr 110 und B 90 Kunden.
Wie war die Verteilung ein Jahr vorher?
Richtige Antwort: D
Gesucht ist v0 mit M · v0 = (110 | 90). Mit a + b = 200 gilt 0,8a + 0,3(200 − a) = 110, also 0,5a = 50 und a = 100. Probe B: 0,2 · 100 + 0,7 · 100 = 90.
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Frage 9
Eine Insektenpopulation hat drei Altersklassen (Jungtiere, Jährlinge, Erwachsene). Es gilt vn+1 = L · vn mit
0 0 6 0,5 0 0 0 0,25 0 Aktuell gibt es 100 Jungtiere, 40 Jährlinge und 20 Erwachsene.
Wie viele Jungtiere gibt es im nächsten Jahr?
Richtige Antwort: A
Jungtiere entstehen nur durch Erwachsene: 6 · 20 = 120. Die 50 sind die Jährlinge des nächsten Jahres (0,5 · 100). 240 entsteht, wenn man die 6 mit den Jährlingen multipliziert.
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Frage 10
Gegeben sind
A =
2 -1 0 3 und der Vektor v = (4 | 5).
Welchen Vektor ergibt A · v?
Richtige Antwort: D
1. Komponente: 2 · 4 + (−1) · 5 = 3; 2. Komponente: 0 · 4 + 3 · 5 = 15. (13 | 15) entsteht, wenn man das Minuszeichen vor der 1 übersieht.
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