Abitur Mathe üben: Kreuzprodukt, Flächen und Volumen (Übungstest)
- Kreuzprodukt, Flächen und Volumen im Raum
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zur analytischen Geometrie mit Vektor- und Spatprodukt. Tipp: Prüfe ein Kreuzprodukt, indem du es mit beiden Ausgangsvektoren skalar multiplizierst, beide Ergebnisse müssen 0 sein.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
Dein Ergebnis
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Frage 1
Berechne das Kreuzprodukt (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6).
Richtige Antwort: C
Komponenten: 2 · 6 − 3 · 5 = −3; 3 · 4 − 1 · 6 = 6; 1 · 5 − 2 · 4 = −3. (3 | −6 | 3) wäre b × a, also die umgekehrte Reihenfolge. (4 | 10 | 18) ist nur das komponentenweise Produkt.
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Frage 2
Wie groß ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von a = (2 | 0 | 1) und b = (1 | 3 | 0) aufgespannt wird?
Richtige Antwort: B
a × b = (−3 | 1 | 6), dessen Länge ist 9 + 1 + 36 = 46. Die Hälfte davon wäre der Flächeninhalt des Dreiecks; 2 ist nur das Skalarprodukt a · b.
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Frage 3
Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit A(1 | 0 | 0), B(3 | 2 | 0) und C(1 | 0 | 4)?
Richtige Antwort: D
AB = (2 | 2 | 0), AC = (0 | 0 | 4), AB × AC = (8 | −8 | 0) mit Länge 82. Das Dreieck ist halb so groß wie das Parallelogramm: 42. 82 ist die Parallelogrammfläche.
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Frage 4
Welches Volumen hat der Spat, der von a = (2 | 0 | 0), b = (1 | 3 | 0) und c = (1 | 1 | 4) aufgespannt wird?
Richtige Antwort: A
V = |(a × b) · c|. a × b = (0 | 0 | 6), skalar mit c ergibt 6 · 4 = 24. Der Wert 4 wäre das Volumen der dreiseitigen Pyramide über denselben Vektoren (ein Sechstel).
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Frage 5
Welches Volumen hat die dreiseitige Pyramide mit den Ecken O(0 | 0 | 0), A(3 | 0 | 0), B(0 | 3 | 0) und D(0 | 0 | 6)?
Richtige Antwort: C
Die Grundfläche OAB ist ein rechtwinkliges Dreieck mit 0,5 · 3 · 3 = 4,5, die Höhe ist 6. V = 13 · 4,5 · 6 = 9. Gleiches Ergebnis über 16 des Spatvolumens 54. 27 erhält man, wenn man das Dreieck wie ein Quadrat rechnet.
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Frage 6
Welche Aussage über das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist immer richtig?
Richtige Antwort: B
Das Kreuzprodukt ist so gebaut, dass es orthogonal zu beiden Vektoren ist; deshalb liefert es Normalenvektoren. Vertauscht man die Reihenfolge, kehrt sich das Vorzeichen um. Null wird es bei parallelen, nicht bei senkrechten Vektoren.
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Frage 7
Eine Pyramide hat die quadratische Grundfläche A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(4 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0) und die Spitze S(2 | 2 | 6).
Welches Volumen hat die Pyramide?
Richtige Antwort: A
Grundfläche 4 · 4 = 16, Höhe = Abstand von S zur x₁x₂-Ebene = 6. V = 13 · 16 · 6 = 32. 96 ist das Volumen des Quaders mit gleicher Grundfläche und Höhe, der Faktor 1/3 fehlt.
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Frage 8
Die Ebene E enthält die Punkte A(1 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0) und C(0 | 0 | 3).
Welche Koordinatengleichung hat E?
Richtige Antwort: D
AB = (−1 | 2 | 0), AC = (−1 | 0 | 3), AB × AC = (6 | 3 | 2). Einsetzen von A ergibt d = 6. Probe: B liefert 3 · 2 = 6, C liefert 2 · 3 = 6. Bei x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 6 liegt A nicht in der Ebene.
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Frage 9
Für welchen Wert von t liegen A(1 | 1 | 1), B(3 | 2 | 0) und C(t | 3 | −1) auf einer Geraden?
Richtige Antwort: C
AB = (2 | 1 | −1). Damit C auf der Geraden liegt, muss AC ein Vielfaches sein; aus der 2. und 3. Komponente folgt der Faktor 2, also C = A + 2 · AB = (5 | 3 | −1). Dann ist auch die Dreiecksfläche 0.
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Frage 10
Für drei Vektoren a, b, c gilt (a × b) · c = 0.
Was folgt daraus?
Richtige Antwort: A
Das Spatprodukt ist das (orientierte) Volumen des Spats; Volumen 0 heißt, der Spat ist flach, die Vektoren sind linear abhängig. Ein Nullvektor wäre ein Spezialfall, ist aber nicht nötig.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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