Abitur Mathe üben: Gemischte Aufgaben (Übungstest)
- Gemischte Aufgaben aus Analysis, Geometrie und Stochastik
- 10 Fragen
- 15 Minuten
10 gemischte Aufgaben aus Analysis, analytischer Geometrie und Stochastik, wie sie im hilfsmittelfreien Teil vorkommen können. Tipp: Rechne kurz im Kopf oder auf Papier nach, bevor du eine Antwort wählst.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = (x2 + 1) · ex.
An welcher Stelle hat der Graph eine waagerechte Tangente?
Richtige Antwort: D
Produktregel: f'(x) = 2x · ex + (x2 + 1) · ex = (x + 1)2 · ex. Das ist nur bei x = −1 null (dort liegt ein Sattelpunkt). Bei x = 0 ist f'(0) = 1.
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Frage 2
Welchen Wert hat das Integral von 0 bis π über sin(x) dx?
Richtige Antwort: A
Eine Stammfunktion ist −cos(x): −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Die 0 wäre richtig für das Intervall von 0 bis 2π.
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Frage 3
Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = ln(x) im Punkt (1|0)?
Richtige Antwort: B
f'(x) = 1x, also f'(1) = 1. Die Tangente durch (1|0) mit Steigung 1 ist y = x − 1. y = x hat zwar die richtige Steigung, geht aber nicht durch (1|0).
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Frage 4
Welcher Vektor ist der Einheitsvektor in Richtung von (3|0|4)?
Richtige Antwort: C
Der Vektor hat die Länge 9 + 16 = 5, also wird jede Koordinate durch 5 geteilt. (37|0|47) teilt durch die Summe der Koordinaten statt durch die Länge.
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Frage 5
Gegeben ist das Dreieck mit den Ecken A(1|0|0), B(0|2|0) und C(0|0|2).
Wie groß ist sein Flächeninhalt?
Richtige Antwort: A
AB = (−1|2|0) und AC = (−1|0|2) ergeben AB × AC = (4|2|2) mit der Länge 24 = 26. Der Flächeninhalt ist die Hälfte davon: 6. 26 ist die Fläche des Parallelogramms.
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Frage 6
In einer Urne liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal Rot zu ziehen?
Richtige Antwort: B
3 · (25)2 · 35 = 36125 = 0,288. Der Faktor 3 zählt die drei möglichen Positionen der blauen Kugel. 0,096 ist nur ein einzelner Pfad, 0,352 ist P(mindestens zweimal Rot).
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Frage 7
Für zwei Ereignisse gilt P(A) = 0,5 und PA(B) = 0,4.
Wie groß ist P(A ∩ B)?
Richtige Antwort: A
Aus PA(B) = P(A ∩ B) / P(A) folgt P(A ∩ B) = 0,5 · 0,4 = 0,2. 0,8 entsteht, wenn man 0,4 durch 0,5 teilt statt zu multiplizieren.
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Frage 8
Welche Lösung hat die Gleichung ln(x) = 2?
Richtige Antwort: C
Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion von ln: x = e2 ≈ 7,39. ln 2 löst dagegen ex = 2.
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Frage 9
Welchen Wert hat das Integral von −2 bis 2 über x3 dx?
Richtige Antwort: D
x3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung, die beiden Teilflächen heben sich auf: 4 − 4 = 0. Die 8 ist der Flächeninhalt, nicht der Wert des Integrals.
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Frage 10
Gegeben ist f(x) = x · ln(x) für x > 0.
An welcher Stelle hat der Graph seinen Tiefpunkt?
Richtige Antwort: C
f'(x) = ln(x) + 1 = 0 ergibt ln(x) = −1, also x = 1e = e−1. Bei x = 1 ist f'(1) = 1, dort steigt der Graph schon. x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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