Abitur Mathe üben: Gebrochenrationale Funktionen (Übungstest)
- Gebrochenrationale Funktionen: Lücken, Pole, Asymptoten
- 10 Fragen
- 13 Minuten
10 Aufgaben zu Funktionen der Form Zählerpolynom durch Nennerpolynom. Tipp: Faktorisiere zuerst Zähler und Nenner, dann erkennst du sofort, welche Nennernullstelle sich wegkürzt.
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Frage 1
Gegeben ist f(x) = x + 2x2 − 4.
Welche Aussage über die Definitionslücken trifft zu?
Richtige Antwort: B
Mit x² − 4 = (x − 2)(x + 2) kürzt sich der Faktor (x + 2), es bleibt 1x − 2. Bei x = −2 entsteht also nur eine Lücke, bei x = 2 bleibt der Nenner null und es gibt einen Pol. Eine Nullstelle bei −2 ist unmöglich, weil f dort gar nicht definiert ist.
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Frage 2
Gegeben ist f(x) = 3x2 − 1x2 + 2.
Welche waagerechte Asymptote hat der Graph?
Richtige Antwort: D
Zähler- und Nennergrad sind gleich (beide 2), also ist die Asymptote der Quotient der Leitkoeffizienten: 3 : 1 = 3. Der Wert −1/2 ist nur f(0), nicht das Verhalten für große |x|.
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Frage 3
Gegeben ist f(x) = 2x − 5x2 + 1.
Welche waagerechte Asymptote hat der Graph?
Richtige Antwort: A
Der Zählergrad (1) ist kleiner als der Nennergrad (2), daher geht f(x) für x → ±∞ gegen 0. y = 2 wäre nur richtig, wenn auch der Nenner den Grad 1 hätte.
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Frage 4
Gegeben ist f(x) = x2 + 1x − 1.
Welche Gerade ist schiefe Asymptote des Graphen?
Richtige Antwort: C
Polynomdivision: (x² + 1) : (x − 1) = x + 1 Rest 2, also f(x) = x + 1 + 2x − 1. Der Restbruch geht gegen 0, übrig bleibt y = x + 1. Wer y = x wählt, hat nur die höchsten Potenzen dividiert.
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Frage 5
Gegeben ist f(x) = 1(x − 3)2.
Welche Aussage trifft zu?
Richtige Antwort: C
Die Nennernullstelle x = 3 ist doppelt, der Nenner ist links und rechts davon positiv. Deshalb strebt f auf beiden Seiten gegen +∞: Pol ohne Vorzeichenwechsel. Einen Vorzeichenwechsel gibt es nur bei ungerader Vielfachheit.
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Frage 6
Gegeben ist f(x) = x2 − 9x + 3.
Welche Nullstellen hat f?
Richtige Antwort: A
Der Zähler ist bei ±3 null, aber x = −3 gehört nicht zur Definitionsmenge, weil dort auch der Nenner null ist. Übrig bleibt nur x = 3. Die Falle ist, die Zählernullstellen ohne Blick auf den Definitionsbereich zu übernehmen.
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Frage 7
Gegeben ist f(x) = 4x + 1.
Wie lautet f'(x)?
Richtige Antwort: B
Schreibe f(x) = 4 · (x + 1)−1, dann liefert die Kettenregel f'(x) = −4 · (x + 1)−2. 4 · ln|x + 1| ist keine Ableitung, sondern eine Stammfunktion von f.
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Frage 8
Welche Funktion hat eine Polstelle bei x = 2 und die waagerechte Asymptote y = 1?
Richtige Antwort: D
Bei x + 1x − 2 ist der Nenner bei x = 2 null, der Zähler dort 3 ≠ 0, also Pol. Gleiche Grade mit Leitkoeffizienten 1 und 1 ergeben y = 1. 2xx − 2 hat ebenfalls den Pol bei 2, aber die Asymptote y = 2.
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Frage 9
Gegeben ist f(x) = x + 1x − 2.
Wie verhält sich f(x) für x → 2 mit x > 2?
Richtige Antwort: A
Für x knapp über 2 ist der Zähler ungefähr 3 (positiv) und der Nenner eine kleine positive Zahl, der Quotient wird beliebig groß. Für x knapp unter 2 wäre der Nenner negativ, dann ginge f gegen −∞.
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Frage 10
Welchen Wert hat das Integral ∫02 3x + 1 dx?
Richtige Antwort: B
Eine Stammfunktion ist F(x) = 3 · ln(x + 1). Also F(2) − F(0) = 3 · ln(3) − 3 · ln(1) = 3 · ln(3). Bei 3 · ln(2) wurde die obere Grenze 2 direkt in ln eingesetzt, ohne die +1.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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