Abitur Mathe üben: Extremwertaufgaben (Übungstest)
- Optimierungsaufgaben mit Zielfunktion
- 10 Fragen
- 15 Minuten
10 Optimierungsaufgaben zu Flächen, Volumen, Abständen und Gewinn. Tipp: Stelle zuerst die Zielfunktion auf, ersetze mit der Nebenbedingung eine Variable und vergleiche am Ende auch die Randwerte.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
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Frage 1
Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm.
Wie groß ist sein Flächeninhalt höchstens?
Richtige Antwort: D
Mit den Seiten a und 20 − a ist A(a) = a(20 − a). A'(a) = 20 − 2a = 0 liefert a = 10, also ein Quadrat mit 100 cm². 96 cm² gehört zu 8 cm × 12 cm, das ist kleiner.
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Frage 2
Ein rechteckiges Beet grenzt an eine Mauer. Die anderen drei Seiten werden mit 60 m Zaun eingefasst.
Wie groß kann das Beet höchstens werden?
Richtige Antwort: A
Sind x die beiden Seiten senkrecht zur Mauer, bleibt 60 − 2x für die Seite parallel zur Mauer. A(x) = x(60 − 2x), A'(x) = 60 − 4x = 0 ergibt x = 15 und A = 15 · 30 = 450. 225 m² wäre ein Quadrat mit 15 m Seitenlänge.
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Frage 3
Aus einem quadratischen Blech mit 12 cm Seitenlänge wird eine oben offene Schachtel gefaltet. Dazu schneidet man an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge x aus.
Welche Funktion beschreibt das Volumen der Schachtel?
Richtige Antwort: B
Die Höhe ist x, die quadratische Grundfläche hat die Seitenlänge 12 − 2x, weil auf beiden Seiten x wegfällt. Bei (12 − x)2 wurde nur an einer Seite abgeschnitten.
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Frage 4
Für die Schachtel aus einem 12 cm × 12 cm großen Blech gilt V(x) = x · (12 − 2x)2 mit 0 < x < 6.
Für welches x wird das Volumen maximal?
Richtige Antwort: A
V'(x) = (12 − 2x)(12 − 6x) ist im Intervall nur bei x = 2 null. V(2) = 2 · 64 = 128 cm³, dagegen V(3) = 108 cm³. Bei x = 6 bleibt keine Grundfläche übrig.
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Frage 5
Zwei positive Zahlen x und y haben die Summe 12. Das Produkt x · y2 soll möglichst groß werden.
Welche Zahlen sind das?
Richtige Antwort: B
Mit x = 12 − y ist P(y) = (12 − y)y2 = 12y2 − y3. P'(y) = 24y − 3y2 = 0 ergibt y = 8 und x = 4, P = 256. Bei 6 und 6 ist das Produkt nur 216.
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Frage 6
Gesucht ist der kleinste Abstand des Punktes P(0|2) vom Graphen der Funktion f(x) = x2.
Wie groß ist dieser Abstand?
Richtige Antwort: D
d(x)2 = x2 + (x2 − 2)2 = x4 − 3x2 + 4. Die Ableitung 4x3 − 6x ist für x2 = 1,5 null; dort ist d2 = 74, also d = 72 ≈ 1,32. Die 2 ist der Abstand zum Scheitel, der hier nicht am nächsten liegt.
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Frage 7
Eine zylinderförmige Dose soll ein festes Volumen haben und dabei möglichst wenig Blech verbrauchen (geschlossene Dose).
Welche Beziehung gilt dann zwischen Höhe h und Radius r?
Richtige Antwort: C
Mit h = Vπr2 wird die Oberfläche O(r) = 2πr2 + 2Vr. O'(r) = 0 führt auf V = 2πr3, also h = 2r: Die Höhe ist gleich dem Durchmesser.
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Frage 8
Der Gewinn eines Betriebs ist G(x) = −0,5x2 + 40x − 300 (x in Stück, G in Euro).
Wie groß ist der maximale Gewinn?
Richtige Antwort: D
G'(x) = −x + 40 = 0 ergibt x = 40 Stück und G(40) = −800 + 1600 − 300 = 500. Die 40 ist die optimale Stückzahl, nicht der Gewinn.
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Frage 9
Unter dem Graphen von f(x) = 9 − x2 liegt ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck. Zwei Ecken liegen auf der x-Achse, zwei auf dem Graphen.
Wie groß ist der Flächeninhalt höchstens?
Richtige Antwort: B
Mit den Ecken bei ±u ist A(u) = 2u(9 − u2) = 18u − 2u3. A'(u) = 18 − 6u2 = 0 ergibt u = 3 und A = 23 · 6 = 123 ≈ 20,8. 63 entsteht, wenn man die Breite 2u als u rechnet.
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Frage 10
Gegeben ist f(x) = x3 − 3x auf dem Intervall [0; 3].
Wo nimmt f auf diesem Intervall seinen größten Wert an?
Richtige Antwort: C
Im Inneren hat f nur bei x = 1 eine Extremstelle, und das ist ein Tiefpunkt. Das Maximum liegt deshalb am Rand: f(3) = 27 − 9 = 18. Der Hochpunkt bei x = −1 liegt außerhalb des Intervalls.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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