Abitur Mathe üben: Bedingte Wahrscheinlichkeit (Übungstest)
- Vierfeldertafel, Bayes und Unabhängigkeit
- 10 Fragen
- 14 Minuten
10 Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten, Vierfeldertafeln und Unabhängigkeit. PB(A) bedeutet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Tipp: Frag dich immer zuerst, worauf du dich beschränkst, also was im Nenner steht.
Tippe auf eine Antwort, um sie zu markieren. Du kannst sie ändern oder dieselbe Antwort noch einmal antippen, um die Frage leer zu lassen. Wenn du den Test beendest, siehst du die richtigen Antworten und Erklärungen.Tippe auf eine Antwort; tippst du sie noch einmal an, bleibt die Frage leer.
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Frage 1
In einem Kurs sind 18 Mädchen und 12 Jungen. 9 Mädchen und 3 Jungen tragen eine Brille. Eine Person wird zufällig ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Brille trägt, wenn bekannt ist, dass es ein Mädchen ist?
Richtige Antwort: A
Man beschränkt sich auf die 18 Mädchen: 918 = 12. 34 = 912 ist die umgekehrte Frage, nämlich wie viele der Brillenträger Mädchen sind.
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Frage 2
Für zwei Ereignisse gilt P(A ∩ B) = 0,12 und P(B) = 0,4.
Wie groß ist PB(A)?
Richtige Antwort: D
PB(A) = P(A ∩ B)P(B) = 0,120,4 = 0,3. 0,048 entsteht, wenn man multipliziert statt dividiert.
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Frage 3
Für zwei Ereignisse gilt P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 und P(A ∩ B) = 0,3.
Welche Aussage ist richtig?
Richtige Antwort: B
P(A) · P(B) = 0,6 · 0,5 = 0,3 = P(A ∩ B), also sind A und B unabhängig. Unvereinbar wären sie nur bei P(A ∩ B) = 0. PB(A) ist 0,3 / 0,5 = 0,6.
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Frage 4
Eine Krankheit tritt bei 1 % der Bevölkerung auf. Ein Test erkennt 90 % der Kranken (positives Ergebnis), fällt aber auch bei 5 % der Gesunden positiv aus.
Wie groß ist ungefähr die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich krank ist?
Richtige Antwort: C
P(positiv) = 0,01 · 0,9 + 0,99 · 0,05 = 0,0585. Davon sind 0,009 krank: 0,0090,0585 ≈ 0,154. Die 90 % beschreiben Pkrank(positiv), nicht die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit.
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Frage 5
Maschine A stellt 60 % aller Teile her, davon sind 2 % fehlerhaft. Maschine B stellt 40 % her, davon sind 5 % fehlerhaft.
Wie groß ist der Anteil fehlerhafter Teile insgesamt?
Richtige Antwort: C
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. 3,5 % ist der einfache Mittelwert von 2 % und 5 %, der die verschiedenen Anteile der Maschinen nicht berücksichtigt.
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Frage 6
Maschine A stellt 60 % aller Teile her, davon sind 2 % fehlerhaft. Maschine B stellt 40 % her, davon sind 5 % fehlerhaft. Ein zufällig gewähltes Teil ist fehlerhaft.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von Maschine A?
Richtige Antwort: D
Pfehlerhaft(A) = 0,6 · 0,020,032 = 0,0120,032 = 0,375. 62,5 % ist der Anteil von Maschine B an den fehlerhaften Teilen.
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Frage 7
Für zwei Ereignisse gilt P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 und P(A ∩ B) = 0,1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintritt?
Richtige Antwort: B
P(A ∪ B) = 0,3 + 0,6 − 0,1 = 0,8, also tritt mit 1 − 0,8 = 0,2 keines der Ereignisse ein. 0,28 = 0,7 · 0,4 gälte nur bei Unabhängigkeit, die hier nicht vorliegt.
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Frage 8
In einer Urne liegen 4 rote und 6 weiße Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist, wenn die erste rot war?
Richtige Antwort: B
Nach einer roten Kugel liegen noch 3 rote unter 9 Kugeln: 39 = 13. 215 ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind, also keine bedingte Wahrscheinlichkeit.
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Frage 9
Die Ereignisse A und B sind unvereinbar, und es gilt P(A) = 0,3 und P(B) = 0,5.
Welche Aussage ist richtig?
Richtige Antwort: A
Unvereinbar heißt P(A ∩ B) = 0, aber P(A) · P(B) = 0,15 ≠ 0. Also sind A und B abhängig: Tritt B ein, ist A ausgeschlossen. P(A ∪ B) ist hier 0,3 + 0,5 = 0,8.
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Frage 10
Zwei faire Würfel werden geworfen; die Augensumme beträgt 10.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Würfel eine 6 zeigt?
Richtige Antwort: C
Augensumme 10 ergeben nur (4|6), (5|5) und (6|4). Davon hat einer eine 6 beim ersten Würfel: 13. 16 wäre die Wahrscheinlichkeit ohne die Zusatzinformation.
Leer gelassene Fragen zählen nicht als falsch.
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