AYT Matematik Logaritma Testi 1

Aynı tabanda fark, bölümün logaritmasıdır: log₂(48/3) = log₂ 16 = 4.

log₉ 125 = log_3² 5³ = 32·log₃ 5 = 3a2 olur. Üs tabandaysa bölen, sayıdaysa çarpan olarak öne gelir.

Kurala göre log[x(x − 3)] = 1, yani x² − 3x = 10 → (x − 5)(x + 2) = 0. x = −2 için log x tanımsız olduğundan çözüm kümesi {5} olur.

f⁻¹(5) = k ise f(k) = 5 olmalıdır: log₂(k − 1) = 2 → k − 1 = 4 → k = 5.

x = log₂ 5 ve y = log₅ 8 olur. x · y = log₂ 5 · log₅ 8 = log₂ 8 = 3 bulunur.

Taban pozitif ve 1'den farklı, sayı pozitif olmalıdır: x − 2 > 0, x − 2 ≠ 1 ve 10 − x > 0. Buradan 2 < x < 10 ve x ≠ 3 elde edilir; tam sayılar 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olmak üzere 6 tanedir. x = 3 değerini elemeyi unutan 7 bulur.

Dıştan içe açılır: log₂(log₃ x) = 5⁰ = 1, log₃ x = 2¹ = 2, x = 3² = 9.

5^{1 + log₅ 4} = 5 · 5^{log₅ 4} = 5 · 4 = 20. 9^{log₃ 2} = 3^{2·log₃ 2} = 3^{log₃ 4} = 4. Toplam 24 olur.

Tanım şartı x − 1 > 0. Taban 1'den küçük olduğu için eşitsizlik yön değiştirir: x − 1 < (12)⁻² = 4. Böylece 1 < x < 5 ve tam sayılar 2, 3, 4 olur; toplamları 9'dur.

7,2 = 72/10 ve 72 = 2³ · 3² olduğundan log 7,2 = 3 log 2 + 2 log 3 − log 10 = 3a + 2b − 1 bulunur.

2^t/3 = 40 → t/3 = log 40 / log 2. log 40 = log 4 + log 10 = 0,6 + 1 = 1,6 olduğundan t/3 = 1,6 / 0,3 = 16/3 ve t = 16 saat bulunur.

ln e³ = 3, log₄ 8 = log_2² 2³ = 32, log 0,01 = −2. Sonuç 3 + 32 + 2 = 132 olur.

b = a³ yazılırsa a²b = a⁵ ve ab² = a⁷ olur. log_a⁵a⁷ = 75 bulunur.

log₂ x = t dersek log₂(x³) = 3t olur: t² − 3t − 4 = 0 → t = 4 veya t = −1. Kökler x = 16 ve x = 12; çarpımları 8'dir. Kısa yol: kökler toplamı t₁ + t₂ = 3 olduğundan çarpım 2³ = 8.

y = 2^{x − 1} + 3 → y − 3 = 2^{x − 1} → x − 1 = log₂(y − 3) → x = log₂(y − 3) + 1. Değişkenler yer değiştirince f⁻¹(x) = log₂(x − 3) + 1 olur.

Taban değiştirme kuralıyla ardışık çarpanlar zincirleme sadeleşir: log₂ 3 · log₃ 4 = log₂ 4 gibi. Sonuç log₂ 32 = 5 olur.

b: 3 < 8 < 9 olduğundan 1 < b < 2. a: 4 < 5 < 8 olduğundan 2 < a < 3. c: 25 < 30 < 125 olduğundan 2 < c < 3. a ile c'yi ayırmak için 2,2 ile karşılaştırılır: 2^2,2 ≈ 4,6 < 5 olduğundan a > 2,2; 5^2,2 ≈ 34,5 > 30 olduğundan c < 2,2. Sıralama b < c < a olur.

3^x = t dersek t² − 7t + 10 = 0 → t = 2 veya t = 5. Kökler x₁ = log₃ 2 ve x₂ = log₃ 5; toplamları log₃ 10 olur. t değerlerinin toplamı olan 7'nin logaritmasını almak yaygın bir hatadır.

(−1, 0) noktası için log_a(b − 1) = 0 → b − 1 = 1 → b = 2. (2, 1) noktası için log_a 4 = 1 → a = 4. a + b = 6 bulunur.

Genlik oranı A₁/A₂ = 10^{5,6 − 4,1} = 10^1,5 = 10 · √10 ≈ 31,6 olur. Büyüklük farkı olan 1,5'i doğrudan kat sanmak bu soruda en sık yapılan hatadır.