Mathematik lernt man nicht durch Lesen. Wer das Kapitel dreimal liest, und wer es einmal liest und dreißig Aufgaben rechnet, haben beide das Gefühl, gelernt zu haben; der Abstand in der Klassenarbeit ist groß. Wissen in Mathematik setzt sich durch Gebrauch.
Die Frage lautet darum immer gleich: Theorie oder Aufgaben? Die Antwort besteht aus einem Verhältnis und einer Reihenfolge.
Theorie oder Aufgaben?
Theorie einmal, Aufgaben viele. Etwa ein Fünftel der Lernzeit gehört dem Verstehen, der Rest dem Rechnen. Statt das Kapitel erneut zu lesen, geh zu dem Abschnitt zurück, an dem eine Aufgabe gescheitert ist; so wird die Wiederholung gezielt.
Auch die Reihenfolge zählt. Bei einem neuen Thema zuerst zwei oder drei Musterbeispiele Schritt für Schritt nachvollziehen, dann ähnliche Aufgaben allein rechnen. Ohne Musterbeispiele wird Rechnen zum Ausprobieren, und falsche Wege verfestigen sich. Während der Beispiele sollte der Stift laufen; eine gelesene Lösung ersetzt keine geschriebene.
Wie viele Aufgaben am Tag?
Beim Lernen etwa zwanzig, in der Wiederholung etwa vierzig. Wichtiger als die Zahl ist, dass sie nicht alle aus einem Thema kommen. Fünfzig Aufgaben zu einem Thema festigen dieses Thema, die Arbeit kommt aber gemischt; eine gemischte Einheit pro Woche schließt diese Lücke.
Auch die Schwierigkeit braucht Streuung. Ein Tag mit nur leichten Aufgaben fühlt sich gut an und lehrt wenig, ein Tag mit nur schweren macht das Gegenteil. Als grobe Mischung: die Hälfte auf bequemem Niveau, ein Drittel dort, wo es zäh wird, der Rest über dem aktuellen Stand.
Mit Uhr zu arbeiten beginnt in der Wiederholungsphase. Solange ein Thema neu ist, stört Zeitdruck das Lernen; sitzt es, gibt es keinen anderen Weg zum Prüfungstempo.
Wie nutzt man eigene Fehler?
Indem man sie in vier Arten sortiert, denn jede braucht eine andere Reaktion: nicht gewusst, gewusst aber nicht aufgestellt, Rechenfehler, Aufgabe falsch gelesen. Wer nicht sortiert, wiederholt bei allen vier den Stoff, obwohl nur die erste eine Wissenslücke ist.
Ein Fehlerheft hilft, wird aber meist falsch geführt. Aufgabe abschreiben und Lösung notieren dauert so lange, dass niemand zurückkehrt. Leichtere Variante: eine Zeile pro Fehler, mit Thema, Ursache und richtigem Schritt. "Potenzen, bei gleicher Basis Exponenten multipliziert, hätte addieren müssen." Diese Zeilen einmal pro Woche zu lesen bringt mehr als das ganze Heft neu zu rechnen.
Zählt eine nachgelesene Lösung als gelöst?
Nein, und hier täuscht Mathematik am meisten. Eine gelesene Lösung erzeugt echtes Verstehen; was fehlt, ist das Erzeugen. Wer den Weg zwei Tage später nicht aufstellen kann, kann die Aufgabe weiterhin nicht.
Die praktische Regel: Jede nachgelesene Aufgabe markieren und zwei Tage später ohne Lösung erneut rechnen. Dieser zweite Versuch zeigt den wirklichen Stand. Fünf von zwanzig nachgelesenen Aufgaben erneut zu rechnen bringt mehr Punkte als zwanzig neue.
Erklärvideos tragen dieselbe Täuschung. Eine flüssige Erklärung fühlt sich leicht an, und Leichtigkeit wird für Lernen gehalten. Mehr dazu in Stoff verstanden, Aufgaben trotzdem nicht gelöst.
Bei vielen Lücken: womit anfangen?
Am Anfang der Kette. Themen stapeln sich: Potenzen halten nicht ohne Teiler und Vielfache, Wurzeln nicht ohne Potenzen, Prozentaufgaben wackeln ohne Verhältnisse, und fast alles wackelt ohne die Grundlagen. Man beginnt also nicht beim schwächsten Thema, sondern beim grundlegendsten schwachen Thema.
Der schnelle Weg zu dieser Liste: pro Thema ein Test mit zehn Aufgaben, Ergebnisse in sicher, wackelig und fehlt sortieren. Die wackelige Gruppe zahlt sich am besten aus; dort fehlt meist eine einzige Regel.
Muss man Formeln auswendig lernen?
Ja, aber nach dem Herleiten. Wer eine Formel ohne Herkunft auswendig lernt, steht bei anderer Formulierung still; wer sie jedes Mal neu herleitet, verliert Minuten. Einmal herleiten, dann auswendig lernen.
Für das Auswendiglernen eignet sich verteiltes Wiederholen: Formelkarten in wachsenden Abständen durchsehen statt täglich. Die Methode steht in Spaced Repetition und aktives Abrufen.
Was verringert Schusselfehler?
Ordentlicheres Schreiben. Die meisten Rechenfehler entstehen am überfüllten Rand, nicht in einer Wissenslücke: Zeilen, die ineinanderlaufen, ein verschwundenes Minus, eine nie geschlossene Klammer. Zeile für Zeile am Gleichheitszeichen zu schreiben räumt einen großen Teil davon von selbst weg.
Die zweite Methode ist, Schritte zu prüfen statt Ergebnisse. Die Lösung einzusetzen geht nicht immer, aber nach jedem Schritt eine Sekunde auf die vorige Zeile zu schauen fängt den Fehler dort, wo er entsteht.
Tempo hilft ebenfalls, und Kopfrechnen ist der günstigste Ort, es zu gewinnen. Unsere Denkspiele enthalten eine Dreiminutenübung dafür.